Materi Ajar: Barisan dan Deret Aritmetika
A. Memahami: Konsep Dasar Barisan dan Deret
Selamat pagi, anak-anak! Kita akan mempelajari salah satu pola bilangan paling umum dan berguna di dunia, yaitu Barisan Aritmetika. Ini adalah tentang pola yang memiliki "pertambahan tetap".
1. Apa itu Barisan Aritmetika?
Barisan adalah sekumpulan bilangan yang diurutkan berdasarkan aturan (pola) tertentu. Barisan Aritmetika adalah barisan yang setiap sukunya (kecuali suku pertama) diperoleh dengan menambahkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap.
Bilangan tetap ini disebut beda (dinotasikan dengan \(b\)). Suku pertama disebut \(a\) atau \(U_1\).
- Contoh 1: 2, 5, 8, 11, 14, ...
Suku pertama (\(a\)) = 2.
Beda (\(b\)) = \(5 - 2 = 3\). (Setiap suku ditambah 3). - Contoh 2: 50, 45, 40, 35, ...
Suku pertama (\(a\)) = 50.
Beda (\(b\)) = \(45 - 50 = -5\). (Setiap suku ditambah -5, atau dikurang 5).
2. Rumus Suku ke-n (\(U_n\)) - "Aplikasi Kalkulator Fungsi"
Bagaimana jika kita ingin tahu suku ke-100 dari barisan 2, 5, 8,...? Kita tidak mungkin mengurutkannya satu per satu. Kita perlu "kalkulator" atau rumus. Rumus inilah yang disebut Rumus Suku ke-n (\(U_n\)).
Mari kita lihat polanya:
- \(U_1 = a\)
- \(U_2 = a + b\)
- \(U_3 = (a + b) + b = a + 2b\)
- \(U_4 = (a + 2b) + b = a + 3b\)
- \(U_n = a + (n-1)b\)
Koneksi "Kalkulator Fungsi": Rumus \(U_n = a + (n-1)b\) adalah sebuah Fungsi Linear, di mana \(n\) adalah input (domain) dan \(U_n\) adalah output (range). Kita bisa menulisnya sebagai \(f(n) = a + (n-1)b\).
Jika kita sederhanakan, \(f(n) = a + bn - b\) atau \(f(n) = bn + (a-b)\). Ini adalah bentuk \(f(x) = mx + c\) di mana \(n\) adalah variabelnya. Rumus ini bertindak sebagai "kalkulator" yang bisa langsung menghitung nilai suku ke-\(n\) tanpa harus tahu suku sebelumnya.
3. Apa itu Deret Aritmetika?
Deret Aritmetika (dinotasikan \(S_n\)) adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmetika.
- Barisan: 2, 5, 8, 11, ...
- Deret (\(S_4\)): 2 + 5 + 8 + 11 = 26
\(S_n\) berarti "Jumlah \(n\) suku pertama".
4. Rumus Jumlah Deret (\(S_n\))
Ada dua rumus utama untuk menghitung jumlah \(n\) suku pertama:
- Jika suku pertama (\(a\)) dan suku terakhir (\(U_n\)) diketahui:
\[S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)\] - Jika suku pertama (\(a\)) dan beda (\(b\)) diketahui (Rumus utama):
\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)\]
B. Mengaplikasikan: Rumus dalam Aksi
Contoh 1: Mencari Suku ke-n (Aplikasi Kalkulator Fungsi)
Soal: Diketahui barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ... Tentukan suku ke-40!
Penalaran: Kita tidak akan menghitung manual. Kita gunakan "kalkulator fungsi" \(U_n\).
- Identifikasi: \(a = 3\), \(b = 7 - 3 = 4\).
- Input (\(n\)): 40.
- Hitung (Output \(U_{40}\)):
\(U_n = a + (n-1)b\)
\(U_{40} = 3 + (40-1) \times 4\)
\(U_{40} = 3 + (39) \times 4\)
\(U_{40} = 3 + 156\)
\(U_{40} = 159\)
Jawaban: Suku ke-40 adalah 159. Kita baru saja menggunakan rumus \(U_n\) sebagai "kalkulator" untuk "melompat" langsung ke suku ke-40.
Contoh 2: Mencari Jumlah Suku (Deret)
Soal: Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari barisan 8, 11, 14, ...
Penalaran: Soal meminta "jumlah", jadi kita gunakan rumus \(S_n\).
- Identifikasi: \(a = 8\), \(b = 11 - 8 = 3\), \(n = 20\).
- Hitung (\(S_{20}\)):
\(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)\)
\(S_{20} = \frac{20}{2}(2(8) + (20-1) \times 3)\)
\(S_{20} = 10(16 + (19) \times 3)\)
\(S_{20} = 10(16 + 57)\)
\(S_{20} = 10(73) = 730\)
Jawaban: Jumlah 20 suku pertama adalah 730.
C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah Kontekstual
Di sinilah barisan dan deret menjadi sangat berguna. Banyak masalah di dunia nyata mengikuti pola pertambahan tetap.
Studi Kasus 1: Pola Menabung (Aplikasi Deret)
Soal: Ani mulai menabung di bank. Bulan pertama (Januari) ia menabung Rp 50.000. Bulan Februari Rp 55.000, bulan Maret Rp 60.000, dan seterusnya; ia selalu menambah Rp 5.000 setiap bulan. Berapa jumlah seluruh tabungan Ani setelah 2 tahun (24 bulan)?
Penalaran (Mengubah cerita menjadi model matematika):
- Ini adalah pola pertambahan tetap, berarti Aritmetika.
- Suku pertama (\(a\)) = 50.000.
- Beda (\(b\)) = 5.000.
- Lama menabung (\(n\)) = 2 tahun = 24 bulan.
- Yang ditanya adalah "jumlah" seluruh tabungan, bukan tabungan di bulan ke-24. Berarti kita gunakan Deret (\(S_n\)).
Aplikasi (Perhitungan):
\(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)\)
\(S_{24} = \frac{24}{2}(2(50000) + (24-1) \times 5000)\)
\(S_{24} = 12(100000 + (23) \times 5000)\)
\(S_{24} = 12(100000 + 115000)\)
\(S_{24} = 12(215000) = 2.580.000\)
Jawaban: Jumlah tabungan Ani setelah 2 tahun adalah Rp 2.580.000.
Studi Kasus 2: Produksi Pabrik (Aplikasi "Kalkulator Fungsi")
Soal: Sebuah pabrik sepatu memproduksi 1.000 pasang sepatu di bulan Januari. Karena permintaan meningkat, pabrik memutuskan menambah produksi sebanyak 150 pasang sepatu setiap bulan.
a) Berapa pasang sepatu yang diproduksi di bulan Oktober?
b) Pada bulan ke berapakah pabrik memproduksi 2.050 pasang sepatu?
Penalaran (Model Matematika):
- Ini adalah barisan aritmetika.
- Suku pertama (\(a\)) = 1.000 (Produksi Januari).
- Beda (\(b\)) = +150.
Aplikasi (a): (Menggunakan \(U_n\) sebagai Kalkulator)
Bulan Oktober adalah bulan ke-10 (\(n=10\)). Kita mencari \(U_{10}\).
\(U_{10} = a + (10-1)b\)
\(U_{10} = 1000 + (9) \times 150\)
\(U_{10} = 1000 + 1350 = 2350\)
Jawaban (a): Produksi di bulan Oktober adalah 2.350 pasang sepatu.
Bernalar (b): (Membalik "Kalkulator Fungsi")
Kita tahu outputnya (\(U_n = 2050\)), tapi kita tidak tahu inputnya (\(n\)). Kita selesaikan persamaan fungsinya.
\(U_n = a + (n-1)b\)
2050 = 1000 + (n-1) \times 150
2050 - 1000 = (n-1) \times 150
1050 = (n-1) \times 150
1050 / 150 = n - 1
7 = n - 1
n = 8
Jawaban (b): Pabrik memproduksi 2.050 pasang sepatu pada bulan ke-8 (Agustus).