Materi Ajar: Fungsi Komposisi dan Representasinya

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Aljabar dan Fungsi

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait konsep, sifat, dan representasi (aljabar, grafik) dari fungsi komposisi.

A. Memahami: Konsep Dasar Fungsi Komposisi

Halo! Jika "fungsi" adalah sebuah "mesin" yang mengubah input (x) menjadi output (y), maka Fungsi Komposisi adalah dua (atau lebih) "mesin" yang dihubungkan secara berantai.

Bayangkan alur produksi di pabrik:

Input (misal: x = Kapas) dimasukkan ke Mesin G (Pemintal).
Output dari Mesin G (g(x) = Benang) menjadi input baru untuk Mesin F (Penenun).
Output dari Mesin F (f(g(x)) = Kain) adalah hasil akhirnya.

Proses penggabungan dua fungsi secara berurutan inilah yang disebut Komposisi Fungsi.

Notasi dan Definisi (Konsep Kunci)

Komposisi fungsi f dan g ditulis sebagai (f o g)(x), yang dibaca "f bundaran g x" atau "f komposisi g x".

Definisinya adalah:
(f o g)(x) = f(g(x))

Artinya: Fungsi g(x) dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya (outputnya) dimasukkan sebagai input ke dalam fungsi f(x).

Peringatan Penting: Urutan itu Penting!
(f o g)(x) (Kerjakan g dulu, baru f) TIDAK SAMA dengan (g o f)(x) (Kerjakan f dulu, baru g).
Fungsi komposisi tidak bersifat komutatif.

B. Mengaplikasikan: Menemukan Rumus Fungsi Komposisi

Menemukan rumus aljabar untuk fungsi komposisi sangatlah mudah. Ini adalah tentang "memasukkan" satu fungsi ke dalam fungsi lainnya.

Misalkan kita punya dua "mesin":
f(x) = 2x + 3 (Mesin f: mengalikan input dengan 2, lalu tambah 3)
g(x) = x - 1 (Mesin g: mengurangi input dengan 1)

Contoh 1: Mencari `(f o g)(x)`

(f o g)(x) = f(g(x))

Artinya: Ganti setiap x di dalam fungsi f dengan *seluruh* fungsi g(x).
f(x) = 2x + 3
f(g(x)) = 2( g(x) ) + 3
Masukkan rumus g(x), yaitu (x - 1):
= 2(x - 1) + 3
Sederhanakan (Aljabar):
= (2x - 2) + 3
= 2x + 1
Jadi, (f o g)(x) = 2x + 1.

Contoh 2: Mencari `(g o f)(x)`

(g o f)(x) = g(f(x))

Artinya: Ganti setiap x di dalam fungsi g dengan *seluruh* fungsi f(x).
g(x) = x - 1
g(f(x)) = ( f(x) ) - 1
Masukkan rumus f(x), yaitu (2x + 3):
= (2x + 3) - 1
Sederhanakan (Aljabar):
= 2x + 2
Jadi, (g o f)(x) = 2x + 2.

Pembuktian: Seperti yang kita lihat, 2x + 1 (hasil f o g) tidak sama dengan 2x + 2 (hasil g o f).

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus)

Fungsi komposisi sangat berguna untuk memodelkan situasi nyata yang memiliki beberapa tahapan proses.

1. Mencari Nilai Komposisi `(f o g)(a)`

Jika kita ingin mencari nilai (f o g)(5) dari fungsi di Contoh 1, ada dua cara:

Cara 1 (Pakai Rumus):
Kita sudah punya rumus (f o g)(x) = 2x + 1.
Tinggal masukkan x = 5:
(f o g)(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 11.
Cara 2 (Satu per Satu / Konsep Awal):
(f o g)(5) = f(g(5)). Kerjakan dari dalam (g(5)) dulu.
g(x) = x - 1 → g(5) = 5 - 1 = 4.
Sekarang masukkan hasil itu (4) ke dalam f:
f(x) = 2x + 3 → f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11.

Hasilnya sama! Cara 2 seringkali lebih cepat jika Anda hanya perlu mencari nilai, bukan rumus.

Studi Kasus 2: Diskon Bertingkat (HOTS)

Soal: Sebuah toko pakaian sedang promo. Ada diskon 20%, diikuti potongan kasir Rp 25.000.
a) Buatlah model matematika (fungsi) untuk kedua diskon tersebut.
b) Jika harga baju (x) adalah Rp 300.000, berapa harga bayarnya?
c) Manakah yang lebih murah bagi pembeli: didiskon 20% dulu baru dipotong 25rb, ATAU dipotong 25rb dulu baru didiskon 20%?

Penalaran (a): Model Matematika

Harga awal = x
Fungsi Diskon 20% (kita sebut D(x)):
D(x) = x - (20% dari x) = x - 0.2x = 0.8x
Fungsi Potongan Kasir (kita sebut P(x)):
P(x) = x - 25000

Penalaran (b): Harga Bayar (Diskon 20% DULU, baru Potong)

Ini adalah komposisi (P o D)(x) = P(D(x)).
Kita hitung satu per satu (Cara 2) dengan x = 300.000:

Kerjakan D(x) dulu:
D(300.000) = 0.8 × 300.000 = 240.000
Hasilnya (240.000) masukkan ke P(x):
P(240.000) = 240.000 - 25.000 = 215.000

Jawaban (b): Harga bayarnya adalah Rp 215.000.

Penalaran (c): Membandingkan Urutan (HOTS)

Kita sudah punya Skenario 1 (P o D) = Rp 215.000.
Bagaimana jika dibalik? Potong 25rb DULU, baru Diskon 20%?
Ini adalah komposisi (D o P)(x) = D(P(x)).

Kerjakan P(x) dulu:
P(300.000) = 300.000 - 25.000 = 275.000
Hasilnya (275.000) masukkan ke D(x):
D(275.000) = 0.8 × 275.000 = 220.000

Kesimpulan Penalaran:
Harga bayar Skenario 1 (P o D) = Rp 215.000.
Harga bayar Skenario 2 (D o P) = Rp 220.000.
Ternyata, lebih murah jika didiskon 20% terlebih dahulu. Ini membuktikan bahwa dalam kehidupan nyata, urutan komposisi (f o g vs g o f) sangat berpengaruh!