Materi Ajar: Fungsi Invers dan Representasinya

A. Memahami: Konsep Dasar Fungsi Invers

Halo! Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan operasi "kebalikan" atau "invers".

• Aktivitas: Memakai sepatu → Inversnya: Melepas sepatu.
• Aktivitas: Mengunci pintu → Inversnya: Membuka kunci pintu.

Dalam matematika, fungsi bisa kita anggap sebagai "mesin" yang mengubah input (x) menjadi output (y).

Sebuah fungsi invers (ditulis f⁻¹, dibaca "f invers") adalah "mesin kebalikan" yang mengubah output (y) tadi kembali menjadi input (x) semula.

Syarat Fungsi Memiliki Invers

Penting! Tidak semua fungsi memiliki invers. Sebuah fungsi *hanya* bisa dibalik (memiliki invers) jika fungsi tersebut adalah fungsi bijektif (satu-ke-satu).

Artinya: Satu input (x) hanya boleh punya satu output (y), dan satu output (y) hanya boleh berasal dari satu input (x).

• Contoh Punya Invers: f(x) = x + 3. (Fungsi linear pasti satu-ke-satu).
  f(2) = 5. Inversnya jelas, 5 pasti berasal dari 2.
• Contoh TIDAK Punya Invers: f(x) = x².
  f(2) = 4
f(-2) = 4
  Masalah: Jika outputnya 4, inversnya berapa? 2 atau -2? Karena membingungkan (tidak satu-ke-satu), maka f(x) = x² secara utuh tidak memiliki invers.

B. Mengaplikasikan: Menemukan Rumus Fungsi Invers

Kita bisa menemukan rumus aljabar untuk fungsi invers. Ada 3 langkah mudah:

1. Ubah f(x) menjadi y.
2. Selesaikan persamaan tersebut untuk x (buat agar menjadi bentuk x = ...).
3. Ganti x dengan f⁻¹(x) dan ganti y dengan x.

Contoh 1: Fungsi Linear

Tentukan invers dari f(x) = 3x - 5.

• Langkah 1: y = 3x - 5
• Langkah 2 (Selesaikan x):
  y + 5 = 3x
x = (y + 5) / 3
• Langkah 3 (Ganti x dan y):
  f⁻¹(x) = (x + 5) / 3
• Selesai. Invers dari f(x) = 3x - 5 adalah f⁻¹(x) = (x + 5) / 3.

Contoh 2: Fungsi Rasional (Pecahan)

Tentukan invers dari f(x) = (2x + 1) / (x - 4), dimana x ≠ 4.

• Langkah 1: y = (2x + 1) / (x - 4)
• Langkah 2 (Selesaikan x):
  y(x - 4) = 2x + 1 (Kali silang)
  xy - 4y = 2x + 1 (Distributif)
  xy - 2x = 4y + 1 (Kumpulkan semua 'x' di satu sisi)
  x(y - 2) = 4y + 1 (Keluarkan/Faktorkan 'x')
  x = (4y + 1) / (y - 2) (Bagi)
• Langkah 3 (Ganti x dan y):
  f⁻¹(x) = (4x + 1) / (x - 2)
• Selesai. Inversnya adalah f⁻¹(x) = (4x + 1) / (x - 2), dimana x ≠ 2.

C. Bernalar: Representasi dan Sifat-Sifat Invers

Invers bukan hanya soal rumus. Kita bisa "melihat" invers secara visual (grafik) dan memahami sifatnya yang unik.

1. Representasi Grafik (Visual)

Ini adalah konsep yang sangat indah. Jika Anda menggambar grafik f(x) dan grafik f⁻¹(x) pada satu bidang Kartesius, Anda akan melihat sesuatu yang istimewa.

Grafik f⁻¹(x) adalah cerminan (refleksi) dari grafik f(x) terhadap garis y = x.

Mengapa? Ingat, invers adalah menukar x dan y.
Jika titik (a, b) ada di grafik f(x) (misal (3, 4)),
maka titik (b, a) pasti ada di grafik f⁻¹(x) (pasti (4, 3)).
Proses menukar (a, b) menjadi (b, a) adalah definisi geometris dari pencerminan terhadap garis y = x.

2. Sifat Komposisi (Tes Fungsi Invers)

Bagaimana cara menguji apakah dua fungsi f(x) dan g(x) benar-benar saling invers? Kita gunakan komposisi fungsi.

Jika f dan g saling invers, mereka akan "membatalkan" satu sama lain dan menghasilkan input aslinya (x).

(f o g)(x) = f(g(x)) = x
DAN
(g o f)(x) = g(f(x)) = x

Uji Coba Contoh 1: f(x) = 3x - 5 dan g(x) = (x + 5) / 3
f(g(x)) = f( (x + 5) / 3 ) = 3[ (x + 5) / 3 ] - 5 = (x + 5) - 5 = x. (Benar!)
g(f(x)) = g( 3x - 5 ) = [ (3x - 5) + 5 ] / 3 = (3x) / 3 = x. (Benar!)
Penalaran: Karena keduanya menghasilkan x, terbukti bahwa f dan g saling invers.

Studi Kasus 3: Penerapan (Bernalar)