Materi Ajar: Domain, Kodomain, Range, dan Fungsi

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Aljabar

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Domain, kodomain, daerah hasil (range), dan representasi fungsi linear, kuadrat, dan rasional dalam berbagai bentuk.

A. Memahami: Konsep Dasar Fungsi

Selamat pagi, anak-anak! Hari ini kita akan belajar tentang "mesin" dalam matematika, yaitu Fungsi. Fungsi adalah salah satu konsep paling fundamental yang akan kalian gunakan terus-menerus dalam aljabar, kalkulus, dan sains.

1. Apa itu Relasi dan Fungsi?

Relasi adalah hubungan apa saja antara dua himpunan. Misalnya, himpunan "Siswa" {Andi, Budi, Citra} dan himpunan "Hobi" {Membaca, Main Bola, Musik}. Relasi "suka" bisa menghubungkan Andi → Membaca, Budi → Main Bola, Budi → Musik, dan Citra → Membaca.

Fungsi adalah relasi yang jauh lebih spesifik. Fungsi adalah aturan yang menghubungkan setiap anggota di himpunan pertama (daerah asal) ke TEPAT SATU anggota di himpunan kedua (daerah kawan).

Aturan kuncinya: Setiap input (daerah asal) hanya boleh punya satu output. Tidak boleh ada input yang "bingung" harus ke mana, dan tidak boleh ada input yang "dicuekin" (tidak punya pasangan).

2. Tiga Wilayah Penting: Domain, Kodomain, Range

Setiap fungsi memiliki tiga wilayah yang wajib kalian pahami:

Domain (Daerah Asal / Input): Himpunan semua nilai input yang "diizinkan" masuk ke dalam fungsi. Sering dinotasikan \(D_f\). Ini adalah nilai-nilai \(x\).
Kodomain (Daerah Kawan): Himpunan semua nilai output yang "mungkin" dihasilkan oleh fungsi.
Range (Daerah Hasil / Output): Himpunan semua nilai output yang "benar-benar" dihasilkan oleh fungsi. Range adalah subset (bagian) dari Kodomain. Sering dinotasikan \(R_f\). Ini adalah nilai-nilai \(y\) atau \(f(x)\).

3. Representasi Fungsi (Cara Menampilkan Fungsi)

Fungsi bisa disajikan dalam berbagai bentuk, namun semuanya mewakili ide yang sama:

Diagram Panah: Seperti contoh relasi di atas, menunjukkan pasangan input-output secara visual.
Pasangan Berurutan: Misal: \(\{(1, 3), (2, 5), (3, 7)\}\). Ini berarti \(f(1)=3\), \(f(2)=5\), dst.
Tabel: Menyajikan input (x) dan output (y) dalam kolom.
Grafik: Visualisasi fungsi pada bidang Kartesius. Ini adalah cara paling ampuh untuk memahami "perilaku" fungsi.
Rumus / Persamaan: Bentuk paling umum, misal \(f(x) = 2x + 1\). Ini adalah "instruksi" mesinnya.

B. Mengaplikasikan: Domain & Range pada Fungsi Spesifik

Tantangan utama biasanya adalah menentukan Domain dan Range "alami" (natural domain) ketika kita hanya diberi rumus fungsinya.

1. Fungsi Linear: \(f(x) = mx + c\)

Bentuknya adalah garis lurus. Kita bertanya: "Adakah nilai \(x\) yang dilarang?" dan "Adakah nilai \(y\) yang tidak mungkin tercapai?"

Contoh: \(f(x) = 2x - 4\)

Domain (\(D_f\)): Kita bisa memasukkan angka apa saja (positif, negatif, nol, pecahan) sebagai \(x\). Tidak ada batasan.
Domain: \(\{x | x \in \mathbb{R}\}\) (x adalah anggota bilangan Real).
Range (\(R_f\)): Karena \(x\) bisa apa saja, hasilnya (\(y\)) juga bisa mencakup semua bilangan Real.
Range: \(\{y | y \in \mathbb{R}\}\) (y adalah anggota bilangan Real).

2. Fungsi Kuadrat: \(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Bentuknya adalah parabola (terbuka ke atas jika \(a > 0\), ke bawah jika \(a < 0\)).

Contoh: \(g(x) = x^2 - 2x - 3\)

Domain (\(D_g\)): Sama seperti linear, kita bisa memasukkan \(x\) apa saja.
Domain: \(\{x | x \in \mathbb{R}\}\).
Range (\(R_g\)): Nah, ini berbeda. Parabola ini terbuka ke atas (karena \(a = 1\), positif), jadi pasti ada nilai minimum (nilai di titik puncak/vertex).
Titik Puncak \((x_p, y_p)\):
\(x_p = -b / 2a = -(-2) / (2*1) = 1\).
\(y_p = g(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\).
Nilai terendah yang bisa dicapai fungsi ini adalah -4.
Range: \(\{y | y \ge -4, y \in \mathbb{R}\}\) (y lebih besar atau sama dengan -4).

3. Fungsi Rasional: \(f(x) = p(x) / q(x)\)

Bentuknya pecahan, dimana pembilang dan penyebutnya adalah polinomial. Aturan paling penting: PENYEBUT TIDAK BOLEH NOL.

Contoh: \(h(x) = (x + 1) / (x - 3)\)

Domain (\(D_h\)): Kita harus melarang \(x\) yang membuat penyebutnya nol.
Syarat: \(x - 3 \neq 0\) → \(x \neq 3\).
Garis \(x = 3\) ini disebut Asimtot Tegak.
Domain: \(\{x | x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}\).
Range (\(R_h\)): Ini sedikit lebih rumit, tapi terkait dengan Asimtot Datar. Untuk bentuk \((ax+b)/(cx+d)\), asimtot datarnya adalah \(y = a/c\).
Pada \(h(x) = (1x + 1) / (1x - 3)\), \(a=1\) dan \(c=1\). Asimtot datarnya \(y = 1/1 = 1\).
Nilai \(y\) tidak akan pernah menyentuh 1.
Range: \(\{y | y \neq 1, y \in \mathbb{R}\}\).

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah Kontekstual

Domain dan Range menjadi sangat penting saat kita memodelkan dunia nyata, karena dunia nyata punya batasan (misal: jarak tidak bisa negatif, jumlah barang tidak bisa pecahan).

Studi Kasus 1: Fungsi Linear (Domain Kontekstual)

Soal: Biaya (\(C\)) dalam Rupiah untuk memproduksi \(x\) unit barang adalah \(C(x) = 50.000x + 2.000.000\). Kapasitas produksi pabrik maksimal 500 unit.

Penalaran (Domain & Range Kontekstual):

Domain (Jumlah unit \(x\)):
Secara rumus, \(x\) bisa angka apa saja. TAPI, secara konteks:
1. Jumlah barang tidak bisa negatif: \(x \ge 0\).
2. Kapasitas maks 500 unit: \(x \le 500\).
Domain Kontekstual: \(\{x | 0 \le x \le 500, x \in \text{Bil. Bulat}\}\).
Range (Biaya \(C\)):
Biaya minimum (saat \(x=0\)): \(C(0) = 50.000(0) + 2.000.000 = 2.000.000\) (Biaya tetap).
Biaya maksimum (saat \(x=500\)): \(C(500) = 50.000(500) + 2.000.000 = 25.000.000 + 2.000.000 = 27.000.000\).
Range Kontekstual: \(\{C | 2.000.000 \le C \le 27.000.000\}\).

Studi Kasus 2: Fungsi Kuadrat (Range Kontekstual)

Soal: Ketinggian (\(h\)) sebuah bola yang ditendang setelah \(t\) detik diberikan oleh rumus \(h(t) = -5t^2 + 30t\) (\(h\) dalam meter).

Penalaran (Domain & Range Kontekstual):

Domain (Waktu \(t\)):
Waktu dimulai dari \(t=0\). Bola akan berhenti saat menyentuh tanah lagi (\(h=0\)).
\[0 = -5t^2 + 30t\]
\[0 = -5t(t - 6)\]
\(t=0\) (awal) atau \(t=6\) (akhir).
Domain Kontekstual: \(\{t | 0 \le t \le 6, t \in \mathbb{R}\}\) (Waktu berjalan 0 sampai 6 detik).
Range (Ketinggian \(h\)):
Ketinggian minimum jelas 0 (di tanah).
Ketinggian maksimum terjadi di puncak parabola:
\(t_p = -b / 2a = -30 / (2*(-5)) = -30 / -10 = 3\) detik.
\(h_{\text{maks}} = h(3) = -5(3)^2 + 30(3) = -5(9) + 90 = -45 + 90 = 45\) meter.
Range Kontekstual: \(\{h | 0 \le h \le 45, h \in \mathbb{R}\}\).