Materi Ajar: Program Linear Dua Variabel

Mata Pelajaran: Matematika (Wajib)

Elemen: Aljabar dan Fungsi

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan nyata terkait program linear dua variabel menggunakan metode grafik dan uji titik pojok.

A. Memahami: Konsep Dasar Program Linear

Selamat pagi! Pernahkah kalian berpikir bagaimana seorang manajer pabrik memutuskan berapa banyak barang A dan barang B yang harus dibuat agar keuntungannya maksimal, padahal bahan baku dan jam kerja terbatas? Atau bagaimana sebuah perusahaan pengiriman mengatur rute agar biayanya minimal?

Masalah seperti ini disebut masalah optimasi (mencari nilai terbaik, yaitu maksimum atau minimum). Nah, Program Linear adalah salah satu alat matematika paling ampuh untuk memecahkan masalah optimasi ini dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear.

Konsep Kunci yang Wajib Dikuasai

Model Matematika: Ini adalah langkah "menerjemahkan" soal cerita (masalah nyata) ke dalam bahasa matematika (variabel dan pertidaksamaan).
Variabel (x dan y): Mewakili dua hal yang ingin kita cari jumlahnya (misal: x = jumlah barang A, y = jumlah barang B).
Pertidaksamaan Linear (Kendala/Batas): Ini adalah batasan yang kita miliki, seperti stok bahan baku, modal, atau waktu. Menggunakan tanda ≤ (kurang dari atau sama dengan) atau ≥ (lebih dari atau sama dengan).
Contoh: Stok terigu 1000g. Jika barang A butuh 10g dan B butuh 20g, kendalanya: 10x + 20y ≤ 1000.
Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP): Ini adalah "wilayah aman" pada grafik yang memenuhi *semua* pertidaksamaan (kendala) yang ada.
Fungsi Tujuan (Objektif): Ini adalah fungsi yang ingin kita optimalkan (maksimalkan atau minimalkan).
Contoh: Jika untung barang A = 5000 dan B = 3000, fungsi tujuannya: f(x, y) = 5000x + 3000y.

B. Mengaplikasikan: Langkah-Langkah Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah program linear, kita akan menggunakan Metode Uji Titik Pojok (Ekstrem). Ada 4 langkah utama:

Langkah 1: Membuat Model Matematika

Identifikasi variabel (x, y), fungsi tujuan (f(x,y)), dan semua kendala (pertidaksamaan). Paling mudah menggunakan tabel.

Langkah 2: Menggambar Grafik Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)

Ubah semua pertidaksamaan menjadi persamaan (ganti ≤ dengan =) untuk menggambar garisnya.
Cari 2 titik potong untuk setiap garis (titik potong sumbu-x saat y=0, dan sumbu-y saat x=0).
Gambarkan semua garis pada satu grafik Kartesius.
Lakukan Uji Titik (biasanya titik (0,0)) untuk menentukan DHP. Masukkan (0,0) ke pertidaksamaan:
- Jika benar (misal 0 ≤ 100), maka DHP adalah daerah yang *mengandung* (0,0).
- Jika salah (misal 0 ≥ 100), maka DHP adalah daerah yang *tidak mengandung* (0,0).
Arsir daerah yang SALAH (ini cara termudah!) sehingga DHP adalah daerah yang bersih/tidak diarsir.

Langkah 3: Menemukan Titik Pojok (Ekstrem)

Titik pojok adalah titik-titik yang membatasi DHP Anda.

Catat semua koordinat titik pojok (vertex) dari DHP.
Jika ada titik pojok yang merupakan perpotongan dua garis, gunakan metode Eliminasi & Substitusi (materi SPLDV) untuk menemukan koordinat pastinya.

Langkah 4: Uji Titik Pojok ke Fungsi Tujuan

Masukkan semua koordinat titik pojok yang Anda temukan di Langkah 3 ke dalam Fungsi Tujuan f(x, y).

Untuk mencari nilai Maksimum, pilih hasil yang paling besar.
Untuk mencari nilai Minimum, pilih hasil yang paling kecil.

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus)

Mari kita pecahkan masalah "pabrik" tadi dengan 4 langkah ini.

Soal: Seorang pengusaha kue memproduksi 2 jenis kue: Kue A dan Kue B.
Kue A (x) perlu 20g terigu dan 10g mentega, memberi untung Rp 3.000.
Kue B (y) perlu 10g terigu dan 20g mentega, memberi untung Rp 2.000.
Stok bahan yang ada: 4.000g terigu dan 5.000g mentega.
Berapa keuntungan maksimum yang bisa didapat?

Penalaran (Langkah 1: Model Matematika):

Kita buat tabel bantu:

	Kue A (x)	Kue B (y)	Stok
Terigu (g)	20	10	4.000
Mentega (g)	10	20	5.000
Untung (Rp)	3.000	2.000	Maksimum?

Fungsi Tujuan (Untung): f(x, y) = 3000x + 2000y (Maksimalkan!)
Kendala (Batas):
1. Terigu: 20x + 10y ≤ 4000 → (Sederhanakan / bagi 10) → 2x + y ≤ 400
2. Mentega: 10x + 20y ≤ 5000 → (Sederhanakan / bagi 10) → x + 2y ≤ 500
3. Non-negatif: x ≥ 0 (Tidak mungkin buat kue minus)
4. Non-negatif: y ≥ 0

Penalaran (Langkah 2: Menggambar Grafik DHP):

Garis 1: 2x + y = 400
- Jika x=0, y=400 → (0, 400)
- Jika y=0, 2x=400 → x=200 → (200, 0)
Garis 2: x + 2y = 500
- Jika x=0, 2y=500 → y=250 → (0, 250)
- Jika y=0, x=500 → (500, 0)
(DHP akan berada di kuadran 1, di bawah kedua garis tersebut).

Penalaran (Langkah 3: Menemukan Titik Pojok):

DHP akan memiliki 4 titik pojok:

Titik A (Asal): (0, 0)
Titik B (Sumbu-x, Garis 1): (200, 0)
Titik C (Sumbu-y, Garis 2): (0, 250)
Titik D (Potongan Garis 1 dan 2): Kita cari dengan eliminasi!
2x + y = 400 (dikali 2) → 4x + 2y = 800
x + 2y = 500
--------------------- (Dikurangi)
3x = 300 → x = 100
Substitusi x=100 ke Garis 1: 2(100) + y = 400 → 200 + y = 400 → y = 200.
Jadi, Titik D adalah (100, 200).

Penalaran (Langkah 4: Uji Titik Pojok ke Fungsi Tujuan f(x, y) = 3000x + 2000y):

Titik A (0, 0) → f(0, 0) = 3000(0) + 2000(0) = 0
Titik B (200, 0) → f(200, 0) = 3000(200) + 2000(0) = 600.000
Titik C (0, 250) → f(0, 250) = 3000(0) + 2000(250) = 500.000
Titik D (100, 200) → f(100, 200) = 3000(100) + 2000(200) = 300.000 + 400.000 = 700.000 (Maksimum!)

Kesimpulan (Jawaban):
Untuk mendapatkan keuntungan maksimum, pengusaha tersebut harus membuat 100 Kue A dan 200 Kue B. Keuntungan maksimum yang didapat adalah Rp 700.000.