Materi Ajar: Sistem Pertidaksamaan Linear

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Aljabar

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Sistem pertidaksamaan linear multivariabel.

A. Memahami: Konsep Dasar Pertidaksamaan Linear

Selamat pagi, anak-anak! Hari ini kita akan masuk ke topik yang sangat penting di dalam aljabar, yaitu Pertidaksamaan Linear. Ini adalah fondasi untuk topik yang lebih besar yang disebut Program Linear.

1. Apa itu Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)?

Mari kita bedah namanya:

Pertidaksamaan: Kalimat matematika yang menggunakan tanda ketidaksamaan: < (kurang dari), > (lebih dari), ≤ (kurang dari atau sama dengan), atau ≥ (lebih dari atau sama dengan).
Linear: Semua variabelnya berpangkat satu.
Dua Variabel: Melibatkan dua variabel, biasanya x dan y.

Contoh: 2x + 3y ≤ 12, x - y > 5, x ≥ 0.

Berbeda dengan persamaan (=) yang solusinya berupa garis lurus di grafik, solusi dari pertidaksamaan adalah sebuah daerah, yang kita sebut Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).

2. Cara Menentukan DHP dari sebuah PtLDV

Mari kita ambil contoh: 2x + y ≤ 6

Gambar Garis Batas: Ubah tanda pertidaksamaan menjadi =.
2x + y = 6
Cari titik potong:
- Jika x = 0, maka y = 6. Titik: (0, 6).
- Jika y = 0, maka 2x = 6 → x = 3. Titik: (3, 0).
Tarik garis lurus yang menghubungkan (0, 6) dan (3, 0).
Penting: Karena tandanya ≤ (ada sama dengan), garisnya digambar penuh/tegas. Jika tandanya < atau >, garisnya digambar putus-putus.
Uji Titik (Test Point): Ambil satu titik yang mudah di luar garis, biasanya (0, 0).
Masukkan (0, 0) ke pertidaksamaan 2x + y ≤ 6:
2(0) + (0) ≤ 6
0 ≤ 6
Tentukan Daerah Arsiran:
Pernyataan 0 ≤ 6 adalah BENAR.
Artinya, daerah yang ada titik (0,0) adalah daerah penyelesaian. Kita arsir daerah tersebut. (Catatan: Ada juga metode "arsir daerah yang salah" agar DHP-nya bersih, tapi kita pakai metode arsir daerah yang benar dulu).

B. Mengaplikasikan: Sistem Pertidaksamaan Linear

Sebuah "Sistem" berarti ada lebih dari satu pertidaksamaan yang harus dipenuhi secara bersamaan. DHP dari sebuah sistem adalah irisan atau daerah tumpukan dari semua arsiran masing-masing pertidaksamaan.

Paling sering, kita akan bekerja dengan "multivariabel" dalam konteks dua variabel (x dan y) karena bisa digambarkan di bidang Kartesius.

Studi Kasus 1: Menggambar DHP Sistem

Soal: Tentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dari sistem berikut:
1. x + y ≤ 5
2. 2x + y ≤ 8
3. x ≥ 0
4. y ≥ 0

Penyelesaian:

Garis 1 (x + y = 5): Titik potong (0, 5) dan (5, 0). Uji (0,0) → 0 ≤ 5 (BENAR). Arsir ke bawah/kiri.
Garis 2 (2x + y = 8): Titik potong (0, 8) dan (4, 0). Uji (0,0) → 0 ≤ 8 (BENAR). Arsir ke bawah/kiri.
Garis 3 (x = 0): Ini adalah sumbu Y. Karena x ≥ 0, arsir ke kanan.
Garis 4 (y = 0): Ini adalah sumbu X. Karena y ≥ 0, arsir ke atas.

Hasil: DHP adalah daerah segi empat yang tertutup di Kuadran I, dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, garis 1, dan garis 2.

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Program Linear)

Inilah inti dari "bernalar yang lebih tinggi". Kita menggunakan sistem pertidaksamaan linear untuk memecahkan masalah optimasi di dunia nyata, yang disebut Program Linear.

Tujuannya adalah untuk menemukan nilai maksimum (misal: keuntungan, pendapatan) atau minimum (misal: biaya, pengeluaran) dari suatu kondisi yang memiliki batasan.

Konsep Kunci Program Linear:

Model Matematika: Menerjemahkan soal cerita menjadi sistem pertidaksamaan (disebut fungsi kendala).
Fungsi Objektif (Tujuan): Fungsi yang akan dimaksimalkan/diminimalkan, bentuknya f(x, y) = ax + by.
Metode Uji Titik Pojok: Nilai optimum (maks/min) PASTI terjadi di salah satu titik pojok (verteks) dari Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP).

Studi Kasus 2: Soal Cerita (HOTS)

Soal: Seorang pengusaha parkir memiliki lahan seluas 240 m². Ia hanya bisa menampung maksimal 30 kendaraan. Untuk sebuah mobil, diperlukan lahan 6 m² dan bus 24 m². Biaya parkir mobil Rp5.000/jam dan bus Rp15.000/jam. Berapa pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pengusaha itu per jam?

Penalaran (Membuat Model Matematika):

Tentukan Variabel:
x = jumlah mobil
y = jumlah bus
Buat Fungsi Kendala (Batasan):
- Kapasitas Tampung: x + y ≤ 30
- Kapasitas Lahan: 6x + 24y ≤ 240 (Bisa disederhanakan, bagi 6) → x + 4y ≤ 40
- Non-negatif: x ≥ 0 (Mobil tidak mungkin minus)
- Non-negatif: y ≥ 0 (Bus tidak mungkin minus)
Buat Fungsi Objektif (Tujuan):
Pendapatan: f(x, y) = 5000x + 15000y ← Ini yang akan kita maksimalkan.

Aplikasi (Mencari Titik Pojok DHP):

Kita perlu menggambar DHP dari sistem: x + y ≤ 30, x + 4y ≤ 40, x ≥ 0, y ≥ 0.

Titik Pojok A: (0, 0)
Titik Pojok B (di sumbu X): Dari x + y = 30, jika y=0, x=30. Titik: (30, 0).
Titik Pojok C (di sumbu Y): Dari x + 4y = 40, jika x=0, 4y=40 → y=10. Titik: (0, 10).
Titik Pojok D (Perpotongan x+y=30 dan x+4y=40):
x + 4y = 40
x + y = 30
------------------ (Dikurangi)
3y = 10 → y = 10/3
x + (10/3) = 30 → x = 30 - 10/3 = 90/3 - 10/3 = 80/3
Titik: (80/3, 10/3)

Catatan: Karena x dan y adalah jumlah kendaraan, idealnya harus bilangan bulat. Namun, kita tetap uji titik pojok ini. x=80/3 ≈ 26.6 dan y=10/3 ≈ 3.3.

Bernalar (Uji Titik Pojok ke Fungsi Objektif):

Kita uji semua titik pojok ke f(x, y) = 5000x + 15000y:

A (0, 0): 5000(0) + 15000(0) = 0
B (30, 0): 5000(30) + 15000(0) = 150.000
C (0, 10): 5000(0) + 15000(10) = 150.000
D (80/3, 10/3): 5000(80/3) + 15000(10/3) = 400000/3 + 150000/3 = 550000/3 ≈ 183.333

Jawaban: Pendapatan maksimum yang bisa diperoleh adalah Rp 183.333 (jika kendaraan bisa dihitung pecahan, atau jika ini adalah rata-rata jam). Jika harus bulat, kita perlu menguji titik-titik integer di sekitar (26.6, 3.3) yang masih di dalam DHP, seperti (26, 3) atau (25, 3), dsb. Namun, berdasarkan metode titik pojok, nilai tertingginya adalah Rp 183.333.

(Dalam konteks soal HOTS, seringkali jawaban tidak bulat dan menguji pemahaman konsep bahwa nilai maksimum ada di perpotongan, meskipun itu pecahan).