Materi Ajar: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Aljabar

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Sistem persamaan linear multivariabel (dua variabel).

A. Memahami: Konsep Dasar SPLDV

Halo, anak-anak! Kita sering menghadapi masalah sehari-hari yang melibatkan lebih dari satu barang. Misalnya, kita membeli buku dan pensil, tapi kita tidak tahu harga satuannya. Aljabar membantu kita memecahkan teka-teki ini!

1. Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)?

Ini adalah sebuah persamaan yang memiliki dua variabel (dua hal yang belum diketahui, biasanya x dan y) dan pangkat tertingginya adalah satu (linear).

Bentuk umumnya: ax + by = c

Contoh: Ibu membeli 2 apel (x) dan 3 jeruk (y) seharga Rp 12.000.
Kalimat matematikanya: 2x + 3y = 12000.

Satu persamaan ini punya banyak sekali kemungkinan jawaban (x bisa 3000, y 2000; atau x 1500, y 3000, dst.)

2. Apa itu SISTEM Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)?

Sebuah "Sistem" berarti ada lebih dari satu persamaan (biasanya dua) yang saling terkait dan harus diselesaikan bersama-sama. Tujuannya adalah mencari satu pasang nilai (x, y) yang benar untuk *kedua* persamaan tersebut.

Contoh:
Persamaan 1 (Ibu): 2x + 3y = 12000
Persamaan 2 (Bibi): 1x + 3y = 9000 (Beli 1 apel dan 3 jeruk)

Dengan dua persamaan ini, kita bisa menemukan SATU jawaban pasti untuk harga apel (x) dan harga jeruk (y).

B. Mengaplikasikan: Metode Penyelesaian SPLDV

Untuk memecahkan teka-teki SPLDV, kita punya 3 metode utama. Metode yang paling sering dan paling cepat digunakan adalah Metode Campuran.

1. Metode Substitusi (Mengganti)

Metode ini dilakukan dengan mengubah satu persamaan menjadi bentuk x = ... atau y = ..., lalu memasukkannya ke persamaan lain.

Contoh:
x + y = 5 (Persamaan 1)
2x + y = 8 (Persamaan 2)

  1. Ubah Persamaan 1: x + y = 5 → y = 5 - x
  2. Substitusi (ganti) nilai y di Persamaan 2:
    2x + (5 - x) = 8
  3. Selesaikan:
    x + 5 = 8
    x = 8 - 5
    x = 3
  4. Masukkan x = 3 kembali ke y = 5 - x:
    y = 5 - 3
    y = 2
  5. Jadi, solusinya adalah (x, y) = (3, 2).

2. Metode Eliminasi (Menghilangkan)

Metode ini dilakukan dengan "menghilangkan" salah satu variabel (x atau y) dengan cara menjumlahkan atau mengurangi kedua persamaan.

Contoh (soal yang sama):
2x + y = 8
x + y = 5

  1. Variabel y sudah sama (koefisiennya 1). Kita bisa langsung hilangkan dengan dikurangi:
    (2x + y) - (x + y) = 8 - 5
    2x - x + y - y = 3
    x = 3
  2. Sekarang kita eliminasi x. Kita samakan dulu koefisien x:
    2x + y = 8 (dikali 1) → 2x + y = 8
    x + y = 5 (dikali 2) → 2x + 2y = 10
  3. Kurangkan kedua persamaan baru itu:
    (2x + 2y) - (2x + y) = 10 - 8
    y = 2
  4. Jadi, solusinya adalah (x, y) = (3, 2).

3. Metode Campuran (Eliminasi + Substitusi) - PALING EFISIEN

Ini adalah cara tercepat. Kita gunakan Eliminasi untuk mencari 1 variabel, lalu gunakan Substitusi untuk mencari variabel ke-2.

Contoh (soal yang sama):
2x + y = 8
x + y = 5

  1. Langkah 1 (Eliminasi): Kurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan y.
    (2x + y) - (x + y) = 8 - 5
    x = 3 (Cepat!)
  2. Langkah 2 (Substitusi): Masukkan nilai x = 3 ke salah satu persamaan (pilih yang gampang, misal Persamaan 2).
    x + y = 5
    (3) + y = 5
    y = 5 - 3
    y = 2
  3. Selesai! Solusinya (x, y) = (3, 2).

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus)

Inilah inti dari SPLDV: mengubah soal cerita menjadi model matematika dan memecahkannya.

Studi Kasus 1: Soal Belanja

Soal: Harga 3 buku tulis dan 2 pensil adalah Rp 11.500. Harga 2 buku tulis dan 1 pensil adalah Rp 7.250. Berapa harga 5 buku tulis dan 3 pensil?

Penalaran (Langkah 1: Membuat Model Matematika):

  • Misalkan: Buku = x dan Pensil = y
  • Persamaan 1: 3x + 2y = 11500
  • Persamaan 2: 2x + y = 7250

Penalaran (Langkah 2: Menyelesaikan Sistem - Metode Campuran):

  1. Kita ingin mengeliminasi y. Samakan koefisien y.
    3x + 2y = 11500 (dikali 1) → 3x + 2y = 11500
    2x + y = 7250 (dikali 2) → 4x + 2y = 14500
  2. Eliminasi y (kurangkan yang besar dengan yang kecil):
    (4x + 2y) - (3x + 2y) = 14500 - 11500
    x = 3000. (Harga buku Rp 3.000)
  3. Substitusi x = 3000 ke Persamaan 2 (yang mudah):
    2x + y = 7250
    2(3000) + y = 7250
    6000 + y = 7250
    y = 1250. (Harga pensil Rp 1.250)

Penalaran (Langkah 3: Menjawab Pertanyaan):

Yang ditanya adalah harga 5 buku dan 3 pensil (5x + 3y):
5(3000) + 3(1250) = 15000 + 3750 = 18750.

Jawaban: Harga 5 buku dan 3 pensil adalah Rp 18.750.

Studi Kasus 2: Soal Usia (HOTS)

Soal: Dua tahun yang lalu, umur seorang Ayah 6 kali umur anaknya. 18 tahun kemudian, umur Ayah akan menjadi 2 kali umur anaknya. Berapa umur Ayah dan Anak sekarang?

Penalaran (Langkah 1: Membuat Model Matematika):

  • Misalkan: Umur Ayah sekarang = A. Umur Anak sekarang = B.
  • Kondisi 1 (2 tahun lalu):
    Umur Ayah: A - 2
    Umur Anak: B - 2
    Persamaan 1: (A - 2) = 6 × (B - 2) → A - 2 = 6B - 12 → A - 6B = -10
  • Kondisi 2 (18 tahun lagi):
    Umur Ayah: A + 18
    Umur Anak: B + 18
    Persamaan 2: (A + 18) = 2 × (B + 18) → A + 18 = 2B + 36 → A - 2B = 18

Penalaran (Langkah 2: Menyelesaikan Sistem):

Kita punya dua persamaan:
1) A - 6B = -10
2) A - 2B = 18

  1. Eliminasi A (karena sudah sama). Kurangkan Persamaan 2 dengan Persamaan 1:
    (A - 2B) - (A - 6B) = 18 - (-10)
    A - 2B - A + 6B = 18 + 10
    4B = 28
    B = 7. (Umur Anak sekarang 7 tahun)
  2. Substitusi B = 7 ke Persamaan 2:
    A - 2B = 18
    A - 2(7) = 18
    A - 14 = 18
    A = 32. (Umur Ayah sekarang 32 tahun)

Jawaban: Umur Ayah sekarang 32 tahun dan umur Anak sekarang 7 tahun.