Materi Ajar: Peluang Kejadian Majemuk

Mata Pelajaran: Matematika (Lanjut)

Elemen: Analisis Data dan Peluang

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait peluang kejadian majemuk (peluang kejadian saling lepas, saling bebas, dan kejadian bersyarat).

A. Memahami: Konsep Dasar Peluang Majemuk

Halo! Jika peluang dasar (kejadian tunggal) adalah menghitung "peluang terambil 1 kelereng merah", maka Kejadian Majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih kejadian.

Kita akan fokus pada dua kata kunci yang membedakan semua rumus peluang majemuk:

"ATAU" (Gabungan / Union / $\cup$): Menghitung peluang kejadian A *atau* kejadian B terjadi.
Contoh: Berapa peluang mendapat angka 5 *atau* angka 6 pada dadu?
"DAN" (Irisan / Intersection / $\cap$): Menghitung peluang kejadian A *dan* kejadian B terjadi bersamaan atau berurutan.
Contoh: Berapa peluang mendapat Angka pada koin *dan* angka Ganjil pada dadu?

Selanjutnya, kita harus membedakan sifat dari hubungan tersebut.

Konsep Kunci 1: Hubungan "ATAU"

Saling Lepas (Mutually Exclusive): Dua kejadian yang TIDAK BISA terjadi bersamaan.
Contoh: Kejadian 'mendapat angka 5' dan 'mendapat angka 6' saat melempar satu dadu. Mustahil terjadi bersamaan.
Tidak Saling Lepas (Non-Mutually Exclusive): Dua kejadian yang BISA terjadi bersamaan (memiliki irisan).
Contoh: Kejadian 'mendapat kartu As' dan 'mendapat kartu Hati (Heart)'. Keduanya bisa terjadi bersamaan (yaitu kartu As Hati).

Konsep Kunci 2: Hubungan "DAN"

Saling Bebas (Independent): Kejadian A tidak memengaruhi peluang terjadinya kejadian B.
Contoh: Melempar koin (A) dan melempar dadu (B). Hasil koin tidak mengubah hasil dadu.
Bersyarat (Dependent): Kejadian A memengaruhi peluang terjadinya kejadian B.
Contoh: Mengambil 2 bola dari kantong tanpa pengembalian. Peluang terambil bola kedua (B) SANGAT dipengaruhi oleh bola apa yang terambil pertama (A).

B. Mengaplikasikan: Rumus-Rumus Peluang Majemuk

Mari kita terjemahkan konsep di atas ke dalam rumus. Ingat $P(A)$ adalah Peluang A, $P(B)$ adalah Peluang B.

1. Aturan Penjumlahan (Hubungan "ATAU" / $\cup$)

Jika Saling Lepas (TIDAK BISA bersamaan):
Peluangnya tinggal dijumlah.

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$

Jika Tidak Saling Lepas (BISA bersamaan):
Kita harus kurangi dengan irisannya agar tidak dihitung dua kali.

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

2. Aturan Perkalian (Hubungan "DAN" / $\cap$)

Jika Saling Bebas (TIDAK saling memengaruhi):
Peluangnya tinggal dikalikan.

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

Jika Bersyarat (Saling memengaruhi):
Kita mengalikan peluang A dengan peluang B *setelah* A terjadi, $P(B|A)$.

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) $$

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus HOTS)

Kunci dari soal HOTS adalah menentukan dengan tepat: Ini masalah "ATAU" atau "DAN"? Dan apa sifat hubungannya?

Studi Kasus 1: Masalah "ATAU" (Saling Lepas vs Tidak Saling Lepas)

Soal: Dari satu set kartu bridge (remi) yang berisi 52 kartu, diambil 1 kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya:
a) Kartu King ATAU kartu Queen?
b) Kartu King ATAU kartu Hati (Heart)?

Penalaran (a): King ATAU Queen
Ini masalah "ATAU". Apakah bisa terjadi bersamaan? Tidak. Satu kartu tidak bisa King dan Queen sekaligus. Maka ini Saling Lepas.

P(King) = 4/52
P(Queen) = 4/52
Gunakan rumus: $P(K \cup Q) = P(K) + P(Q)$
$P(K \cup Q) = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.

Penalaran (b): King ATAU Hati
Ini masalah "ATAU". Apakah bisa terjadi bersamaan? Ya, yaitu kartu King Hati. Maka ini Tidak Saling Lepas.

P(King) = 4/52
P(Hati) = 13/52
$P(King \cap Hati)$ (Irisannya, King Hati) = 1/52
Gunakan rumus: $P(K \cup H) = P(K) + P(H) - P(K \cap H)$
$P(K \cup H) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$.

Studi Kasus 2: Masalah "DAN" (Saling Bebas)

Soal: Peluang Budi lulus ujian adalah 0.8. Peluang Cici lulus ujian adalah 0.9. Keduanya belajar untuk ujian yang sama. Berapa peluang Budi lulus DAN Cici lulus?

Penalaran:
Ini masalah "DAN". Apakah kelulusan Budi memengaruhi kelulusan Cici? Tidak. (Mereka ujian sendiri-sendiri). Maka ini Saling Bebas.

P(Budi) = 0.8
P(Cici) = 0.9
Gunakan rumus: $P(B \cap C) = P(B) \times P(C)$
$P(B \cap C) = 0.8 \times 0.9 = 0.72$.

Jawaban: Peluang keduanya lulus adalah 0.72 atau 72%.

Studi Kasus 3: Masalah "DAN" (Bersyarat / HOTS)

Soal: Sebuah kotak berisi 5 bola Merah dan 3 bola Kuning. Dilakukan pengambilan 2 bola satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang terambil bola pertama Merah DAN bola kedua Kuning?

Penalaran:
Ini masalah "DAN" berurutan. Apakah pengambilan pertama memengaruhi kedua? Ya, karena tanpa pengembalian, jumlah bola di kotak berubah. Maka ini Bersyarat.

Kita gunakan rumus: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
$P(A)$ (Peluang pertama Merah):
Total bola awal = 8. Bola Merah = 5.
$P(A) = \frac{5}{8}$.
$P(B|A)$ (Peluang kedua Kuning, *setelah* 1 Merah diambil):
Bayangkan 1 Merah sudah diambil. Kotak sekarang berisi: 4 Merah, 3 Kuning.
Total bola sekarang = 7. Bola Kuning = 3.
$P(B|A) = \frac{3}{7}$.
Hitung:
$P(A \cap B) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$.

Jawaban: Peluangnya adalah $\frac{15}{56}$.