Materi Ajar: Peluang Suatu Kejadian Tunggal
A. Memahami: Konsep Kunci Peluang
Selamat pagi, anak-anak! Seberapa sering kalian berkata "Ah, mungkin saja..." atau "Kayaknya nggak mungkin"? Hari ini, kita akan belajar cara mengukur "kemungkinan" tersebut secara matematis. Inilah yang disebut Peluang atau Probabilitas.
Peluang adalah angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Untuk memahaminya, kita harus mengerti "bahasa" peluang:
- Eksperimen (Percobaan): Tindakan yang hasilnya bisa diamati, misal: melempar dadu, mengambil kelereng.
- Ruang Sampel (\(S\)): Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen.
Contoh: Melempar 1 dadu, \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). - Banyaknya Ruang Sampel (\(n(S)\)): Jumlah anggota dalam ruang sampel.
Contoh: Untuk dadu, \(n(S) = 6\). - Kejadian (\(A\)): Himpunan bagian dari ruang sampel; hasil spesifik yang kita harapkan.
Contoh: Kejadian \(A\) = "muncul mata dadu genap", maka \(A = \{2, 4, 6\}\). - Banyaknya Kejadian (\(n(A)\)): Jumlah anggota dalam himpunan kejadian.
Contoh: Untuk \(A = \{2, 4, 6\}\), maka \(n(A) = 3\).
Rumus Dasar Peluang Teoretis
Peluang kejadian \(A\), ditulis \(P(A)\), dihitung dengan rumus:
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \]
\(P(A)\) = (Banyaknya cara kejadian A bisa terjadi) / (Jumlah semua kemungkinan hasil)
Skala Peluang
Nilai peluang selalu berada di antara 0 dan 1 (inklusif).
- \(P(A) = 0\): Kejadian yang Mustahil (Impossible).
Contoh: Peluang dadu 6 sisi memunculkan angka 7. \(n(A)=0\), \(P(A) = \frac{0}{6} = 0\). - \(P(A) = 1\): Kejadian yang Pasti Terjadi (Certain).
Contoh: Peluang dadu 6 sisi memunculkan angka kurang dari 10. \(n(A)=6\), \(P(A) = \frac{6}{6} = 1\).
Jadi, \(0 \le P(A) \le 1\). Semakin dekat ke 1, semakin mungkin terjadi.
B. Mengaplikasikan: Menghitung Peluang Kejadian Tunggal
Kejadian tunggal berarti kita hanya melakukan satu aksi (melempar 1 koin, mengambil 1 kelereng, memutar 1 spinner).
Contoh 1: Pelemparan Satu Koin
Soal: Sebuah koin logam Rp500 dilempar. Berapa peluang muncul sisi "Gambar"?
Aplikasi Rumus:
- Ruang Sampel \(S = \{\text{Angka, Gambar}\}\).
- Banyaknya Ruang Sampel \(n(S) = 2\).
- Kejadian \(A = \{\text{Gambar}\}\).
- Banyaknya Kejadian \(n(A) = 1\).
- Peluang \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{2}\).
Jawaban: Peluangnya adalah \(\frac{1}{2}\) (atau 0.5 atau 50%).
Contoh 2: Pengambilan Kelereng (Dasar Teori Himpunan)
Soal: Dalam sebuah kantong, terdapat 5 kelereng merah, 3 kelereng kuning, dan 2 kelereng biru. Jika diambil satu kelereng secara acak, berapa peluang terambil kelereng biru?
Aplikasi Rumus:
- Banyaknya Ruang Sampel \(n(S)\) = Total semua kelereng = \(5 + 3 + 2 = 10\).
- Kejadian \(A = \{\text{Terambil biru}\}\).
- Banyaknya Kejadian \(n(A)\) = Jumlah kelereng biru = 2.
- Peluang \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\).
Jawaban: Peluangnya adalah \(\frac{1}{5}\) (atau 0.2 atau 20%).
Contoh 3: Pengambilan Kartu Bridge
Soal: Dari satu set lengkap kartu bridge (remi) tanpa Joker, diambil satu kartu. Berapa peluang terambil kartu As (Ace)?
Aplikasi Rumus:
- Banyaknya Ruang Sampel \(n(S)\) = Total kartu bridge = 52.
- Kejadian \(A = \{\text{Terambil kartu As}\}\).
- Banyaknya Kejadian \(n(A)\) = Ada 4 kartu As (As Wajik, As Hati, As Keriting, As Sekop) = 4.
- Peluang \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{52}\) (Sederhanakan) \( = \frac{1}{13}\).
Jawaban: Peluangnya adalah \(\frac{1}{13}\).
C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah HOTS
Di sinilah kita menggunakan konsep peluang untuk bernalar dan membuat keputusan.
1. Peluang Komplemen (Kejadian Sebaliknya)
Peluang komplemen adalah peluang suatu kejadian tidak terjadi, dilambangkan \(P(A')\) atau \(P(A^c)\).
Karena total peluang adalah 1 (Pasti), maka:
\[ P(A') = 1 - P(A) \]
(Peluang Gagal = 1 - Peluang Sukses)
Studi Kasus 1: Peluang Hujan
Soal: BMKG memprediksi peluang hujan hari ini adalah 75% (atau 0.75). Berapa peluang bahwa hari ini tidak hujan?
Penalaran (Komplemen):
- Kejadian \(A = \{\text{Hujan}\}\). \(P(A) = 0.75\).
- Kejadian \(A' = \{\text{Tidak Hujan}\}\).
Aplikasi:
\(P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.75 = 0.25\)
Jawaban: Peluang tidak hujan adalah 0.25 (atau 25%).
(Bonus: Ini adalah penalaran yang lebih cepat daripada menghitung peluang kelereng "bukan merah" di Contoh 2. \(P(\text{Merah}) = \frac{5}{10}\). Maka \(P(\text{Bukan Merah}) = 1 - \frac{5}{10} = \frac{5}{10}\).)
2. Frekuensi Harapan (Expected Frequency)
Frekuensi Harapan (\(F_h\)) adalah "ekspektasi" atau "harapan" kita, berapa kali suatu kejadian akan muncul jika eksperimennya diulang-ulang.
\[ F_h(A) = P(A) \times N \]
N = Banyaknya percobaan (pelemparan, pengambilan, dll).
Studi Kasus 2: Kontrol Kualitas Pabrik
Soal: Sebuah pabrik memproduksi lampu. Diketahui dari data sebelumnya bahwa peluang sebuah lampu cacat adalah \(\frac{1}{500}\). Jika pabrik tersebut memproduksi 10.000 lampu bulan ini, berapa frekuensi harapan (perkiraan jumlah) lampu yang cacat?
Penalaran (Frekuensi Harapan):
- Kejadian \(A = \{\text{Lampu Cacat}\}\).
- Peluang \(P(A) = \frac{1}{500}\).
- Banyak "percobaan" (produksi) \(N = 10.000\).
Aplikasi:
\(F_h(A) = P(A) \times N = \frac{1}{500} \times 10.000 = \frac{10000}{500} = 20\)
Jawaban: Pabrik tersebut dapat berharap ada sekitar 20 lampu yang cacat dari 10.000 produksi.
3. Peluang Teoretis vs. Peluang Empiris (HOTS)
Peluang Teoretis: Apa yang kita hitung dengan rumus (misal \(P(\text{Dadu 5}) = \frac{1}{6}\)).
Peluang Empiris: Apa yang terjadi di dunia nyata setelah percobaan. (Misal: Melempar dadu 10x, angka 5 muncul 3x. Peluang empiris = \(\frac{3}{10}\)).
Studi Kasus 3: Jebakan Data Masa Lalu
Soal: Andi melempar dadu (yang diasumsikan adil) sebanyak 5 kali. Hasilnya adalah: {1, 1, 2, 1, 1}. Andi akan melempar dadu itu untuk keenam kalinya. Teman Budi berkata, "Peluang muncul angka 1 pasti kecil, kan sudah muncul 4 kali." Apakah Budi benar? Berapa peluang muncul angka 1 pada lemparan keenam?
Penalaran (Peristiwa Saling Lepas):
Ini adalah jebakan penalaran yang umum. Dadu tidak punya "ingatan". Hasil lemparan sebelumnya (peluang empiris) tidak mempengaruhi hasil lemparan berikutnya (peluang teoretis).
Setiap lemparan dadu adalah kejadian tunggal yang independen.
Aplikasi:
Pada lemparan keenam:
- \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(n(S) = 6\).
- \(A = \{1\}\), \(n(A) = 1\).
- \(P(A) = \frac{1}{6}\).
Jawaban: Budi salah. Peluang muncul angka 1 pada lemparan keenam tetap \(\frac{1}{6}\), sama seperti peluang angka lainnya.