Materi Ajar: Kaidah Pencacahan (Aturan, Permutasi, Kombinasi)

Mata Pelajaran: Matematika (Lanjut)

Elemen: Analisis Data dan Peluang

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Aturan pencacahan (aturan penjumlahan, aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi).

A. Memahami: Konsep Dasar Kaidah Pencacahan

Halo! Pernahkah kalian berpikir ada berapa banyak cara menyusun kata sandi? Atau ada berapa banyak kemungkinan susunan tim futsal dari 10 pemain? Mencacah (menghitung) satu per satu akan sangat melelahkan.

Kaidah Pencacahan adalah cabang matematika yang menyediakan "jalan pintas" atau rumus untuk menghitung semua kemungkinan cara yang mungkin terjadi dari suatu peristiwa, tanpa harus mendaftarnya satu per satu.

Konsep Kunci 1: Aturan Penjumlahan (Pilihan "ATAU")

Kita menggunakan aturan penjumlahan ketika kita memiliki beberapa pilihan, tetapi kita hanya bisa memilih SATU di antaranya (kejadian saling lepas/eksklusif).

Kata Kunci: ATAU
Contoh: Di garasi ada 5 motor DAN 3 mobil. Jika kamu ingin pergi ke sekolah, kamu bisa pakai motor ATAU mobil. Kamu tidak bisa memakai keduanya sekaligus.
Cara Hitung: Total cara = 5 + 3 = 8 pilihan kendaraan.

Konsep Kunci 2: Aturan Perkalian (Pilihan "DAN" / Berurutan)

Kita menggunakan aturan perkalian ketika sebuah peristiwa terjadi dalam beberapa tahapan yang berurutan (atau harus memenuhi beberapa "slot").

Kata Kunci: DAN
Contoh: Kamu punya 3 baju DAN 2 celana. Untuk berpakaian, kamu harus memilih 1 baju DAN 1 celana.
Cara Hitung (Metode Filling Slots):
Kita siapkan 2 "kotak" (slot): satu untuk baju, satu untuk celana.
[Slot Baju] × [Slot Celana] = Total Cara
[ 3 ] × [ 2 ] = 6 cara berpakaian.
(Baju1-Celana1, Baju1-Celana2, Baju2-Celana1, Baju2-Celana2, Baju3-Celana1, Baju3-Celana2)

B. Mengaplikasikan: Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi

Aturan perkalian menjadi dasar untuk dua konsep yang lebih kuat: Permutasi dan Kombinasi. Tapi sebelum itu, kita harus kenal "Faktorial".

Prasyarat: Notasi Faktorial (`!`)

Faktorial adalah "alat" yang sangat penting dalam pencacahan. Ini adalah perkalian mundur dari suatu bilangan asli hingga 1.

Definisi: $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1$

Contoh: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Contoh: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Aturan Khusus: $1! = 1$ dan $0! = 1$ (Ini adalah kesepakatan matematis).

1. Permutasi (P) - Urutan Itu PENTING

Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun atau mengurutkan k objek dari total n objek yang tersedia, di mana urutan sangat diperhatikan.

Kata Kunci: Menyusun, Mengurutkan, Peringkat, Juara, Jabatan (Ketua, Wakil), Kata Sandi.
Analogi: Dalam permutasi, susunan [A, B] tidak sama dengan [B, A]. (Misal: A jadi Ketua & B jadi Wakil, itu beda dengan B jadi Ketua & A jadi Wakil).
Rumus: $$ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $$

Aplikasi Rumus Permutasi:
Berapa banyak cara memilih Ketua dan Wakil Ketua dari 5 orang kandidat?

Identifikasi: Kita memilih 2 orang (k=2) dari 5 orang (n=5). Karena jabatannya (Ketua, Wakil) berbeda, maka urutan PENTING. Kita pakai Permutasi.
Hitung: $P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}$
(Coret $3!$): $= 5 \times 4 = 20$ cara.

2. Kombinasi (C) - Urutan TIDAK Penting

Kombinasi adalah banyaknya cara untuk memilih k objek dari total n objek yang tersedia, di mana urutan tidak diperhatikan.

Kata Kunci: Memilih, Mengambil, Tim, Kelompok, Komite, Jabat Tangan.
Analogi: Dalam kombinasi, memilih [A, B] sama saja dengan [B, A]. (Misal: Memilih tim ganda bulu tangkis A dan B, sama saja dengan B dan A).
Rumus: $$ C(n, k) = \frac{n!}{k! (n-k)!} $$

Aplikasi Rumus Kombinasi:
Berapa banyak cara memilih tim ganda (2 orang) dari 5 orang pemain?

Identifikasi: Kita memilih 2 orang (k=2) dari 5 orang (n=5). Karena ini tim (tidak ada jabatan), urutan TIDAK PENTING. Kita pakai Kombinasi.
Hitung: $C(5, 2) = \frac{5!}{2! (5-2)!} = \frac{5!}{2! 3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{ (2 \times 1) \times 3!}$
(Coret $3!$): $= \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$ cara.

C. Bernalar: Kapan Pakai yang Mana? (Studi Kasus HOTS)

Bagian tersulit dari kaidah pencacahan adalah memutuskan rumus mana yang harus dipakai. Kuncinya adalah bertanya: "Apakah urutan penting?"

Panduan Penalaran:

Apakah masalah ini tentang "slot" yang diisi (misal plat nomor, password)? $\rightarrow$ Pakai Aturan Perkalian (Filling Slots).
Apakah masalah ini tentang memilih sebagian (k) dari total (n)?
- Tanya: Apakah urutan/jabatan/peringkat PENTING?
  - YA: Pakai PERMUTASI.
  - TIDAK: Pakai KOMBINASI.

Studi Kasus 1: Menyusun Plat Nomor (Aturan Perkalian)

Soal: Disediakan angka {1, 2, 3, 4, 5}. Berapa banyak plat nomor 3 angka yang bisa dibuat jika angka tidak boleh berulang?

Penalaran:
Ini adalah masalah menyusun 3 angka, jadi kita pakai Aturan Perkalian (Filling Slots). Kita siapkan 3 kotak.

[Slot Angka 1] × [Slot Angka 2] × [Slot Angka 3]

Slot 1: Bisa diisi 5 angka (1, 2, 3, 4, atau 5). $\rightarrow$ [ 5 ]
Slot 2: Karena tidak boleh berulang, 1 angka sudah dipakai di Slot 1. Sisa 4 pilihan angka. $\rightarrow$ [ 4 ]
Slot 3: 2 angka sudah dipakai. Sisa 3 pilihan angka. $\rightarrow$ [ 3 ]

Jawaban: Total cara = $5 \times 4 \times 3 = 60$ susunan plat nomor.

(Catatan: Ini juga bisa diselesaikan dengan $P(5, 3) = 60$)

Studi Kasus 2: Ranking Lomba (Permutasi)

Soal: Ada 8 pelari dalam final lomba lari 100 meter. Berapa banyak susunan peraih medali Emas, Perak, dan Perunggu yang mungkin?

Penalaran:
Kita memilih 3 orang (k=3) dari 8 pelari (n=8).
Tanya: Apakah urutan penting? YA. (Si A dapat Emas, si B Perak $\neq$ Si B dapat Emas, si A Perak).
Karena urutan penting, kita pakai Permutasi.

Jawaban:
$P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ susunan medali.

Studi Kasus 3: Memilih Tim (Kombinasi)

Soal: Dalam sebuah rapat OSIS yang dihadiri 10 orang, mereka semua saling berjabat tangan satu kali. Berapa total jabat tangan yang terjadi?

Penalaran:
Jabat tangan selalu terjadi antara 2 orang. Jadi, masalah ini adalah "memilih 2 orang" (k=2) dari 10 orang (n=10).
Tanya: Apakah urutan penting? TIDAK. (Ani jabat tangan Budi sama saja dengan Budi jabat tangan Ani, dihitung 1 kali).
Karena urutan tidak penting, kita pakai Kombinasi.

Jawaban:
$C(10, 2) = \frac{10!}{2! (10-2)!} = \frac{10!}{2! 8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$ jabat tangan.