Materi Ajar: Perbandingan Trigonometri Dasar

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Geometri

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, kosekan).

A. Memahami: Konsep Dasar Trigonometri

Halo! Pernahkah kalian berpikir bagaimana kita bisa mengukur tinggi gunung atau lebar sungai tanpa harus mengukurnya langsung dengan meteran? Jawabannya ada di Trigonometri.

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi pada segitiga. Fondasinya dimulai dari segitiga siku-siku.

Konsep Kunci: Sisi DEPAN, SAMPING, dan MIRING

Ini adalah konsep paling penting. Perhatikan sebuah segitiga siku-siku dengan sudut $\theta$ (theta) sebagai acuan kita.

[Gambar segitiga siku-siku. Sudut $\theta$ di kiri bawah. Sisi Miring (Hipotenusa) di seberang sudut 90°. Sisi Depan di seberang sudut $\theta$. Sisi Samping di sebelah sudut $\theta$.]

Sisi Miring (MI / Hipotenusa): Sisi terpanjang, selalu di seberang sudut siku-siku 90°.
Sisi Depan (DE): Sisi yang berada di seberang sudut acuan ($\theta$).
Sisi Samping (SA): Sisi yang berada di sebelah sudut acuan ($\theta$) (dan bukan sisi miring).

Peringatan Penting: Posisi 'Depan' dan 'Samping' BERGANTUNG PADA SUDUT $\theta$ yang kita lihat! Jika sudutnya pindah, sisi Depan dan Sampingnya juga akan bertukar.

B. Mengaplikasikan: 6 Perbandingan Trigonometri

Trigonometri mendefinisikan 6 perbandingan (rasio) ajaib berdasarkan ketiga sisi tersebut. Cara termudah menghafalnya adalah dengan jembatan keledai "SinDeMi, CosSaMi, TanDeSa".

1. Tiga Rasio Utama (Sin, Cos, Tan)

Sinus (sin): $\sin(\theta) = \frac{\text{Depan}}{\text{Miring}}$ (SinDeMi)
Kosinus (cos): $\cos(\theta) = \frac{\text{Samping}}{\text{Miring}}$ (CosSaMi)
Tangen (tan): $\tan(\theta) = \frac{\text{Depan}}{\text{Samping}}$ (TanDeSa)

2. Tiga Rasio Kebalikan (Csc, Sec, Cot)

Ini adalah kebalikan dari tiga rasio utama:

Kosekan (csc): Kebalikan dari Sinus.
$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{Miring}}{\text{Depan}}$
Sekan (sec): Kebalikan dari Kosinus.
$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{Miring}}{\text{Samping}}$
Kotangen (cot): Kebalikan dari Tangen.
$\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\text{Samping}}{\text{Depan}}$

Contoh Aplikasi Rumus

Perhatikan segitiga siku-siku dengan sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. (Ingat Tripel Pythagoras: $3^2 + 4^2 = 5^2$).

[Gambar segitiga siku-siku, alas 4, tinggi 3, miring 5. Sudut $\theta$ ada di antara sisi 4 dan 5.]

Jika $\theta$ adalah sudut yang diapit sisi 4 (Samping) dan 5 (Miring):

Depan (DE) = 3
Samping (SA) = 4
Miring (MI) = 5

Maka, 6 perbandingannya adalah:

$\sin(\theta) = \frac{DE}{MI} = \frac{3}{5}$
$\cos(\theta) = \frac{SA}{MI} = \frac{4}{5}$
$\tan(\theta) = \frac{DE}{SA} = \frac{3}{4}$

$\csc(\theta) = \frac{MI}{DE} = \frac{5}{3}$
$\sec(\theta) = \frac{MI}{SA} = \frac{5}{4}$
$\cot(\theta) = \frac{SA}{DE} = \frac{4}{3}$

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus)

Inilah kekuatan trigonometri. Jika kita tahu satu sisi dan satu sudut, kita bisa mencari semua sisi lainnya.

Konsep Kunci 2: Sudut Istimewa

Untuk bisa menghitung tanpa kalkulator, kita harus menghafal nilai-nilai dari "sudut istimewa" (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).

$\theta$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin(\theta)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1$
$\cos(\theta)$	$1$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan(\theta)$	$0$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	Tak terdefinisi

Studi Kasus 1: Mengukur Tinggi Pohon (HOTS)

Soal: Budi (tinggi 1,6 m) berdiri 12 meter dari sebatang pohon. Ia mengukur sudut elevasi (sudut pandang ke atas) ke puncak pohon sebesar 30°. Berapa tinggi total pohon tersebut?

Penalaran (Langkah 1: Visualisasi):
Ada segitiga siku-siku yang terbentuk oleh mata Budi, puncak pohon, dan garis horizontal sejajar tanah.

Sudut acuan ($\theta$) = 30°.
Sisi Samping (SA) = Jarak Budi ke pohon = 12 m.
Sisi Depan (DE) = Tinggi pohon di atas mata Budi (Kita sebut t).

Penalaran (Langkah 2: Pilih Rumus):
Kita tahu SA (12 m) dan $\theta$ (30°). Kita ingin mencari DE (t).
Rumus yang menghubungkan DE dan SA adalah TanDeSa (Tangen).
$\tan(\theta) = \frac{DE}{SA}$

Penalaran (Langkah 3: Hitung):
$\tan(30^\circ) = \frac{t}{12}$
Lihat tabel: $\tan(30^\circ) = \frac{1}{3}\sqrt{3}$ (atau $\frac{1}{\sqrt{3}}$)
$t = 12 \times \tan(30^\circ) = 12 \times (\frac{\sqrt{3}}{3}) = 4\sqrt{3}$ meter.
($\sqrt{3} \approx 1.73$, jadi $t \approx 4 \times 1.73 = 6.92$ meter).

Penalaran (Langkah 4: Jawab Pertanyaan):
t (6.92 m) baru tinggi pohon di atas mata Budi.
Tinggi Total Pohon = t + Tinggi Budi
Tinggi Total = $6.92 + 1.6 = 8.52$ meter.

Jawaban: Tinggi total pohon adalah $4\sqrt{3} + 1.6$ meter, atau sekitar 8.52 meter.

Studi Kasus 2: Mencari Sudut Kemiringan

Soal: Sebuah tangga sepanjang 5 meter bersandar pada tembok. Jarak kaki tangga ke tembok adalah 3 meter. Berapa besar sudut ($\theta$) yang dibentuk tangga dengan lantai?

Penalaran (Langkah 1: Visualisasi):
Tangga, lantai, dan tembok membentuk segitiga siku-siku.

Sudut acuan ($\theta$) ada di lantai.
Sisi Miring (MI) = Panjang tangga = 5 m.
Sisi Samping (SA) = Jarak kaki tangga ke tembok = 3 m.

Penalaran (Langkah 2: Pilih Rumus):
Kita tahu SA (3 m) dan MI (5 m). Kita ingin mencari sudut $\theta$.
Rumus yang menghubungkan SA dan MI adalah CosSaMi (Kosinus).
$\cos(\theta) = \frac{SA}{MI}$

Penalaran (Langkah 3: Hitung):
$\cos(\theta) = \frac{3}{5} = 0.6$
Untuk mencari sudut ($\theta$) dari nilai kosinus, kita menggunakan fungsi invers (Arccos) di kalkulator.
$\theta = \arccos(0.6)$
$\theta \approx 53.1^\circ$

Jawaban: Sudut kemiringan tangga dengan lantai adalah sekitar 53.1°.