Materi Ajar: Jarak dalam Ruang (Geometri Ruang)

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Geometri

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Jarak dua objek geometri (titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang) menggunakan model bangun ruang.

A. Memahami: Konsep Kunci Jarak Geometri

Selamat pagi, anak-anak! Hari ini kita akan masuk ke salah satu topik paling menantang sekaligus memuaskan dalam geometri: Jarak dalam Ruang 3D. Kita akan menggunakan Model Bangun Ruang (terutama Kubus dan Limas) sebagai "laboratorium" kita.

1. Apa itu "Jarak" dalam Geometri?

Jarak antara dua objek (titik, garis, atau bidang) adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Kunci terpenting: ruas garis terpendek ini selalu tegak lurus (proyeksi) terhadap objek yang dituju (jika objeknya garis atau bidang).

2. Model Bangun Ruang Kita: Kubus

Kita akan sering menggunakan Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk \(a\) cm. Penting untuk menghafal "alat bantu" (diagonal) agar perhitungan cepat:

Diagonal Sisi (Bidang): Seperti \(AC\), \(BD\), \(AF\), \(EG\), dll.
Panjangnya: \(d_s = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\)
Diagonal Ruang: Seperti \(AG\), \(BH\), \(CE\), \(DF\).
Panjangnya: \(d_r = \sqrt{d_s^2 + a^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\)

3. Satu-Satunya Alat Utama: Teorema Pythagoras

SEMUA soal jarak dalam ruang adalah soal Teorema Pythagoras. Tantangannya bukan di rumus, tapi dalam menemukan segitiga siku-siku yang tepat untuk dihitung.

B. Mengaplikasikan: Jenis-Jenis Jarak

Kita akan membedah tiga jenis jarak utama menggunakan Model Kubus ABCD.EFGH (rusuk \(a\)).

1. Jarak Titik ke Titik

Ini adalah yang paling dasar. Cukup tarik garis lurus antara dua titik dan hitung panjangnya (biasanya pakai Pythagoras atau rumus diagonal).

Soal: Pada kubus rusuk 6 cm, tentukan jarak titik A ke titik G!

Aplikasi: Jarak A ke G adalah Diagonal Ruang.

Cara 1 (Rumus Cepat): \(d_r = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) cm.

Cara 2 (Pythagoras 2x):
1. Cari \(AC\) (diagonal sisi) pada \(\triangle ABC\): \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).
2. Cari \(AG\) pada \(\triangle ACG\) (siku-siku di C): \(AG = \sqrt{AC^2 + CG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) cm.

2. Jarak Titik ke Garis

Ini adalah inti dari Geometri Ruang. Untuk mencari jarak titik P ke garis g:

Buat segitiga yang menghubungkan titik P dengan dua titik di garis g (misal A dan B).
Proyeksikan titik P ke garis g secara tegak lurus (misal di titik X). Jaraknya adalah \(PX\).
Gunakan Pythagoras atau rumus luas segitiga (\(L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}\)) untuk mencari \(PX\).

Soal: Pada kubus rusuk 8 cm, tentukan jarak titik H ke garis AC!

Aplikasi (Mencari Segitiga Siku-Siku):

Bentuk segitiga \(\triangle HAC\).
Identifikasi sisi:
\(HA\) = Diagonal sisi = \(8\sqrt{2}\) cm.
\(AC\) = Diagonal sisi = \(8\sqrt{2}\) cm.
\(HC\) = Diagonal sisi = \(8\sqrt{2}\) cm.
Ternyata \(\triangle HAC\) adalah segitiga sama sisi.
Jarak H ke AC adalah tinggi segitiga ini. Tarik garis dari H ke tengah-tengah AC (sebut titik O). \(HO\) pasti tegak lurus \(AC\).
Titik O adalah pusat persegi ABCD. Panjang \(AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (8\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}\) cm.
Sekarang gunakan Pythagoras pada \(\triangle HAO\) (siku-siku di O, *bukan* \(\triangle HDO\)... HDO juga bisa!)
Kita pakai \(\triangle HDO\) (siku-siku di D). DO = \(4\sqrt{2}\). HD = 8.
\(HO = \sqrt{HD^2 + DO^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\) cm.

Jawaban: Jarak H ke AC adalah \(4\sqrt{6}\) cm.

C. Bernalar: Jarak Titik ke Bidang (HOTS)

Ini adalah tingkat penalaran tertinggi. Untuk mencari jarak Titik P ke Bidang \(\alpha\):

Proyeksikan titik P secara tegak lurus ke bidang \(\alpha\) (misal di titik X). Jaraknya adalah \(PX\).
Cara termudah seringkali menggunakan perbandingan Volume Limas.

Studi Kasus 1: Model Limas (Jarak Titik Puncak ke Alas)

Soal: Diberikan Model Limas T.ABCD, alas berbentuk persegi dengan rusuk 6 cm. Rusuk tegak (misal \(TA\)) adalah 5 cm. Tentukan jarak titik T ke bidang alas ABCD!

Penalaran (Model Matematika):

Jarak titik T ke bidang ABCD adalah tinggi limas itu sendiri (garis \(TO\), dimana O adalah pusat alas).

Aplikasi (Perhitungan):

Cari diagonal alas \(AC\): \(AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) cm.
Cari jarak \(AO\): \(AO = \frac{1}{2} AC = 3\sqrt{2}\) cm.
Kita asumsikan limas ini beraturan (Tepat di atas O). Maka \(TA=TB=TC=TD\). (Soal menyebut TA=5, kita asumsikan ini limas beraturan).
Bentuk segitiga \(\triangle TAO\) (siku-siku di O).
\(TA = 5\) (rusuk tegak/hipotenusa). \(AO = 3\sqrt{2}\) (sisi alas). \(TO\) (tinggi/jarak).
\(TO = \sqrt{TA^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7}\) cm.

Jawaban: Jarak T ke bidang ABCD adalah \(\sqrt{7}\) cm.

Studi Kasus 2: Jarak Titik ke Bidang Diagonal (HOTS)

Soal: Pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 9 cm, tentukan jarak titik E ke bidang BDG!

Penalaran (Model Matematika):

Jarak ini sangat sulit dihitung langsung. Kita akan menggunakan Volume Limas atau Proyeksi Diagonal Ruang.

Metode Proyeksi (Penalaran Cepat):
1. Tarik diagonal ruang \(CE\). Panjangnya \(a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\).
2. Bidang BDG dan bidang AFH adalah dua bidang sejajar yang memotong diagonal ruang \(CE\) secara simetris.
3. Diagonal \(CE\) tegak lurus dengan bidang BDG (dan AFH).
4. Titik potongnya membagi diagonal \(CE\) menjadi 3 bagian SAMA PANJANG.
Jarak (C ke BDG) = \(\frac{1}{3} CE\)
Jarak (BDG ke AFH) = \(\frac{1}{3} CE\)
Jarak (AFH ke E) = \(\frac{1}{3} CE\)
5. Jarak titik E ke bidang BDG = Jarak (E ke AFH) + Jarak (AFH ke BDG).
6. Jarak (E ke AFH) = 0 (karena E ada di bidang AFH).
7. Jarak (AFH ke BDG) = \(\frac{1}{3} CE = \frac{1}{3} (9\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}\).
(Cara lain: Jarak E ke BDG = Jarak C ke AFH = \( \frac{2}{3} CE = \frac{2}{3}(9\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} \) )

Validasi (Metode Volume):
Jarak E ke BDG = \(\frac{2}{3} CE\). (Jarak C ke BDG = \(\frac{1}{3} CE\)).
Volume (C.BDG) = \(\frac{1}{3} \times L(BCD) \times CG = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9) \times 9 = \frac{729}{6} = 121.5\).
Luas (BDG) = (Segitiga sama sisi, sisi \(9\sqrt{2}\)) = \(\frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(9\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(81 \cdot 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{162\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{2}\).
Volume = \(\frac{1}{3} \times L(BDG) \times \text{Jarak(C ke BDG)}\)
\(121.5 = \frac{1}{3} \times (\frac{81\sqrt{3}}{2}) \times J_c\)
\(121.5 = (\frac{27\sqrt{3}}{2}) \times J_c \rightarrow J_c = \frac{121.5 \times 2}{27\sqrt{3}} = \frac{243}{27\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}\) cm.
Jadi Jarak (C ke BDG) = \(3\sqrt{3} = \frac{1}{3} (9\sqrt{3})\).
Maka Jarak (E ke BDG) = \(CE - J_c = 9\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) cm.

Jawaban: Jarak titik E ke bidang BDG adalah \(6\sqrt{3}\) cm.