Materi Ajar: Volume dan Luas Permukaan Bangun Ruang
A. Memahami: Konsep Kunci Volume dan Luas Permukaan
Selamat pagi, anak-anak! Hari ini kita akan menjelajahi dunia 3D (Tiga Dimensi). Setiap benda di sekitar kita, dari kotak pensil hingga botol minum, memiliki "isi" dan "kulit". Dalam matematika, kita menyebutnya Volume dan Luas Permukaan.
1. Perbedaan Mendasar: Isi vs. Kulit
- Volume (Isi): Menunjukkan seberapa banyak ruang yang bisa ditempati di dalam bangun tersebut. Pikirkan: "Berapa banyak air yang muat?" atau "Berapa banyak udara di dalamnya?".
Satuan: Kubik (cm³, m³, liter). - Luas Permukaan (Kulit): Adalah jumlah luas dari semua sisi/permukaan yang menyelimuti bangun tersebut. Pikirkan: "Berapa banyak kertas kado yang dibutuhkan?" atau "Berapa luas area yang harus dicat?".
Satuan: Persegi (cm², m²).
2. Konsep Induk (Prisma dan Limas)
Hampir semua bangun ruang bisa dikelompokkan menjadi dua "keluarga" besar, plus satu bangun spesial (Bola).
Keluarga PRISMA (Alas dan Atap Sama Persis):
Ini termasuk Kubus, Balok, Tabung, dan Prisma (segitiga, segilima, dll). Ciri utamanya: alas dan atapnya identik dan sejajar.
- Volume Prisma (Umum): \(V = \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi}\)
- Luas Permukaan Prisma (Umum): \(LP = (2 \times \text{Luas Alas}) + (\text{Keliling Alas} \times \text{Tinggi})\)
Keluarga LIMAS (Alas dan Puncak):
Ini termasuk Limas (alas segitiga, segiempat, dll) dan Kerucut. Ciri utamanya: punya alas dan satu titik puncak.
- Volume Limas (Umum): \(V = \frac{1}{3} \times \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi}\)
- Luas Permukaan Limas (Umum): \(LP = (\text{Luas Alas}) + (\text{Luas Seluruh Sisi Tegak/Selimut})\)
Bangun Spesial: BOLA
- Volume Bola: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)
- Luas Permukaan Bola: \(LP = 4 \pi r^2\)
B. Mengaplikasikan: Rumus pada Bangun Spesifik
Contoh 1: Tabung (Keluarga Prisma)
Soal: Sebuah kaleng susu berbentuk tabung memiliki jari-jari alas \(r = 7\) cm dan tinggi \(t = 20\) cm. Tentukan volume dan luas permukaannya! (Gunakan \(\pi = \frac{22}{7}\))
Aplikasi Rumus:
- Volume (Isi):
\(V = \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi}\)
\(V = (\pi r^2) \times t\)
\(V = (\frac{22}{7} \times 7 \times 7) \times 20 = 154 \times 20 = 3080\) cm³. - Luas Permukaan (Kulit):
\(LP = (2 \times \text{Luas Alas}) + (\text{Luas Selimut})\)
\(LP = (2 \times \pi r^2) + (2 \pi r t)\)
\(LP = (2 \times 154) + (2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 20)\)
\(LP = 308 + (44 \times 20) = 308 + 880 = 1188\) cm².
Contoh 2: Kerucut (Keluarga Limas)
Soal: Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut memiliki jari-jari alas \(r = 6\) cm dan tinggi \(t = 8\) cm. Tentukan volume dan luas permukaannya! (Gunakan \(\pi = 3.14\))
Aplikasi Rumus:
- Mencari Garis Pelukis (s): Kita butuh \(s\) untuk luas selimut. Gunakan Pythagoras:
\(s = \sqrt{r^2 + t^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\) cm. - Volume (Isi):
\(V = \frac{1}{3} \times \text{Luas Alas} \times \text{Tinggi}\)
\(V = \frac{1}{3} \times (\pi r^2) \times t\)
\(V = \frac{1}{3} \times (3.14 \times 6^2) \times 8 = \frac{1}{3} \times (3.14 \times 36) \times 8\)
\(V = (3.14 \times 12) \times 8 = 37.68 \times 8 = 301.44\) cm³. - Luas Permukaan (Kulit):
\(LP = (\text{Luas Alas}) + (\text{Luas Selimut})\)
\(LP = (\pi r^2) + (\pi r s)\)
\(LP = (3.14 \times 6^2) + (3.14 \times 6 \times 10)\)
\(LP = (3.14 \times 36) + (3.14 \times 60) = 113.04 + 188.4 = 301.44\) cm².
C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah HOTS
Di sinilah letak tantangannya: menggabungkan bangun ruang atau memecahkan masalah dunia nyata.
Studi Kasus 1: Bandul (Bangun Gabungan)
Soal: Sebuah bandul logam terdiri dari setengah bola dan kerucut yang alasnya berimpit. Diameter bandul 14 cm (\(r=7\) cm) dan tinggi kerucut 24 cm. Tentukan luas permukaan bandul tersebut!
Penalaran (Model Matematika):
Yang ditanya adalah luas permukaan, artinya "kulit luar" bandul. Alas kerucut dan alas setengah bola saling menempel (berimpit), sehingga mereka TIDAK DIHITUNG dalam luas permukaan.
\[ LP_{\text{total}} = LP_{\text{selimut kerucut}} + LP_{\text{selimut setengah bola}} \]
Aplikasi (Perhitungan):
- Cari \(s\) kerucut: (Tripel Pythagoras 7-24-25)
\(s = \sqrt{r^2 + t^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\) cm. - Luas Selimut Kerucut:
\(LP_{\text{selimut}} = \pi r s = (\frac{22}{7} \times 7 \times 25) = 22 \times 25 = 550\) cm². - Luas Selimut Setengah Bola:
(Luas 1 bola = \(4\pi r^2\), maka setengah bola = \(\frac{1}{2} \times 4\pi r^2 = 2\pi r^2\))
\(LP_{\text{selimut}} = 2 \pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 2 \times 154 = 308\) cm². - Luas Total:
\(LP_{\text{total}} = 550 + 308 = 858\) cm².
Jawaban: Luas permukaan bandul tersebut adalah 858 cm².
Studi Kasus 2: Tenda (Konteks Tanpa Alas)
Soal: Sebuah tenda pramuka berbentuk prisma segitiga. Bagian depan dan belakangnya berbentuk segitiga sama kaki dengan alas 2 m dan tinggi 1.5 m. Panjang tenda adalah 3 m. Jika tenda itu tidak memiliki alas (karena langsung di tanah), berapa meter persegi kain minimum yang dibutuhkan?
Penalaran (Model Matematika):
Kita mencari Luas Permukaan Prisma TANPA ALAS.
Kain yang dibutuhkan = (2 \(\times\) Luas Segitiga depan/belakang) + (2 \(\times\) Luas Sisi Miring/selimut).
Aplikasi (Perhitungan):
- Cari Sisi Miring (\(s_m\)) Segitiga:
Bagi alas segitiga (2 m) menjadi dua \(\rightarrow\) 1 m.
Gunakan Pythagoras: \(s_m = \sqrt{1^2 + 1.5^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} \approx 1.8\) m. - Luas 2 Segitiga (Depan & Belakang):
\(2 \times (\frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}) = 2 \times (\frac{1}{2} \times 2 \times 1.5) = 3\) m². - Luas 2 Sisi Miring (Selimut):
Bentuknya persegi panjang dengan ukuran \(s_m \times \text{panjang tenda}\).
\(2 \times (s_m \times \text{panjang}) = 2 \times (1.8 \times 3) = 2 \times 5.4 = 10.8\) m². - Total Kain:
\(LP_{\text{total}} = 3 + 10.8 = 13.8\) m².
Jawaban: Kain minimum yang dibutuhkan adalah 13.8 m².