Materi Ajar: Transformasi Geometri
A. Memahami: Konsep Dasar Transformasi Geometri
Selamat pagi, anak-anak! Hari ini kita akan bermain sebagai desainer grafis menggunakan matematika. Transformasi Geometri adalah cara kita memindahkan, memutar, membalik, atau mengubah ukuran sebuah titik atau bangun pada bidang koordinat.
Ada empat jenis transformasi utama. Kita akan fokus pada apa yang terjadi pada satu titik \(P(x, y)\).
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah "menggeser" titik ke lokasi baru tanpa mengubah bentuk atau orientasinya. Kita membutuhkan "instruksi" pergeseran yang disebut vektor translasi, \(T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\).
- \(a\) positif → geser ke kanan
- \(a\) negatif → geser ke kiri
- \(b\) positif → geser ke atas
- \(b\) negatif → geser ke bawah
Rumus: \(P(x, y) \xrightarrow{T(a, b)} P'(x+a, y+b)\)
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah "membalik" titik melintasi sebuah garis cermin. Jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan ke cermin, dan posisinya tegak lurus.
Rumus Utama:
- Cermin sumbu-x: \(P(x, y) \rightarrow P'(x, -y)\) (Nilai \(y\) berubah tanda)
- Cermin sumbu-y: \(P(x, y) \rightarrow P'(-x, y)\) (Nilai \(x\) berubah tanda)
- Cermin titik asal O(0,0): \(P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)\) (Semua berubah tanda)
- Cermin garis y = x: \(P(x, y) \rightarrow P'(y, x)\) (Nilai \(x\) dan \(y\) bertukar tempat)
- Cermin garis y = -x: \(P(x, y) \rightarrow P'(-y, -x)\) (Bertukar tempat DAN berubah tanda)
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi adalah "memutar" titik mengelilingi sebuah pusat rotasi (kita fokus di \(O(0,0)\)) sejauh sudut tertentu.
- Arah Positif (+): Berlawanan arah jarum jam.
- Arah Negatif (-): Searah jarum jam.
Rumus Utama (Pusat O(0,0)):
- Rotasi \(+90^\circ\) (atau \(-270^\circ\)): \(P(x, y) \rightarrow P'(-y, x)\)
- Rotasi \(-90^\circ\) (atau \(+270^\circ\)): \(P(x, y) \rightarrow P'(y, -x)\)
- Rotasi \(180^\circ\) (sama \(-180^\circ\)): \(P(x, y) \rightarrow P'(-x, -y)\) (Sama seperti refleksi thd O(0,0))
4. Dilatasi (Perubahan Skala)
Dilatasi adalah "mengubah ukuran" titik (memperbesar atau memperkecil) dari sebuah pusat (kita fokus di \(O(0,0)\)) dengan faktor skala \(k\).
- Jika \(|k| > 1\), bayangan diperbesar.
- Jika \(|k| < 1\), bayangan diperkecil.
- Jika \(k\) negatif, bayangan diperbesar/diperkecil DAN diputar \(180^\circ\).
Rumus: \(P(x, y) \xrightarrow{[O, k]} P'(kx, ky)\)
B. Mengaplikasikan: Transformasi Titik dan Garis
Contoh 1: Transformasi Titik Sederhana
Soal: Tentukan bayangan dari titik \(A(4, -2)\) oleh transformasi berikut:
- Translasi \(T = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\)
- Refleksi terhadap garis \(y = x\)
- Rotasi \(-90^\circ\) berpusat di \(O(0,0)\)
- Dilatasi \([O, 3]\)
Jawaban:
- \(A'(4 + (-3), -2 + 5) \rightarrow A'(1, 3)\)
- \(A'(y, x) \rightarrow A'( -2, 4)\)
- \(A'(y, -x) \rightarrow A'(-2, -(4)) \rightarrow A'(-2, -4)\)
- \(A'(k \cdot x, k \cdot y) \rightarrow A'(3 \cdot 4, 3 \cdot (-2)) \rightarrow A'(12, -6)\)
Contoh 2: "Alat Gambar Garis" (Transformasi Garis)
Soal: Tentukan bayangan garis \(y = 2x + 1\) yang di-translasi oleh \(T = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Metode 1: Menggunakan "Alat Gambar Garis" (Transformasi Titik)
Kita butuh 2 titik untuk menggambar garis. Mari kita ambil 2 titik dari \(y = 2x + 1\).
- Titik 1 (jika \(x=0\)): \(y = 2(0) + 1 = 1\). Titik \(B(0, 1)\).
- Titik 2 (jika \(x=1\)): \(y = 2(1) + 1 = 3\). Titik \(C(1, 3)\).
Sekarang, kita translasikan kedua titik ini:
- \(B'(0+3, 1-1) \rightarrow B'(3, 0)\)
- \(C'(1+3, 3-1) \rightarrow C'(4, 2)\)
Garis bayangan adalah garis yang melalui \(B'(3, 0)\) dan \(C'(4, 2)\). Mari kita cari persamaannya (pakai rumus gradien):
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{4 - 3} = \frac{2}{1} = 2\).
Gunakan rumus \(y - y_1 = m(x - x_1)\):
\(y - 0 = 2(x - 3) \rightarrow y = 2x - 6\).
Metode 2: Substitusi (Lebih Cepat)
\(x' = x + 3 \rightarrow x = x' - 3\)
\(y' = y - 1 \rightarrow y = y' + 1\)
Substitusikan \(x\) dan \(y\) ini ke garis awal \(y = 2x + 1\):
\((y' + 1) = 2(x' - 3) + 1\)
\(y' + 1 = 2x' - 6 + 1\)
\(y' + 1 = 2x' - 5\)
\(y' = 2x' - 6\). (Sama!)
Jawaban: Bayangan garisnya adalah \(y = 2x - 6\).
C. Bernalar: Komposisi dan Masalah HOTS
Bernalar berarti kita menggabungkan transformasi (komposisi) atau menggunakannya untuk memecahkan masalah nyata.
Studi Kasus 1: Komposisi Transformasi (Urutan Penting!)
Soal: Tentukan bayangan titik \(P(5, -1)\) jika di-refleksikan terhadap sumbu-y, kemudian di-rotasi \(+90^\circ\) berpusat di \(O(0,0)\).
Penalaran (Langkah demi Langkah):
Notasi: \(R_{+90^\circ} \circ R_{sumbu-y}\)
- Transformasi Pertama (\(T_1\): Refleksi Sumbu-y):
\(P(5, -1) \xrightarrow{R_{sumbu-y}} P'(-5, -1)\) - Transformasi Kedua ( \(T_2\): Rotasi \(+90^\circ\)) (Kita transformasikan \(P'\), bukan \(P\))
\(P'(-5, -1) \xrightarrow{R_{+90^\circ}} P''(-(-1), -5) \rightarrow P''(1, -5)\)
Jawaban: Bayangan akhirnya adalah \(P''(1, -5)\).
(Catatan nalar: Jika dibalik, \(R_{sumbu-y} \circ R_{+90^\circ}\), hasilnya akan beda! \(P(5, -1) \rightarrow P'(1, 5) \rightarrow P''(-1, 5)\). Jadi, urutan sangat penting!)
Studi Kasus 2: Penerapan pada Desain Grafis (HOTS)
Soal: Seorang desainer logo membuat huruf "L" sederhana menggunakan titik \(A(2, 2)\), \(B(2, 6)\), dan \(C(4, 2)\). Ia ingin membuat logo simetris dengan mencerminkan huruf "L" ini terhadap garis \(y = x\).
Penalaran (Model Matematika):
Kita perlu menerapkan transformasi Refleksi \(y=x\) pada ketiga titik sudut logo.
Rumus: \(P(x, y) \rightarrow P'(y, x)\)
Aplikasi (Transformasi Titik Sudut):
- \(A(2, 2) \rightarrow A'(2, 2)\) (Titik tetap karena berada di cermin)
- \(B(2, 6) \rightarrow B'(6, 2)\)
- \(C(4, 2) \rightarrow C'(2, 4)\)
Jawaban: Bayangan logo akan memiliki titik sudut di \(A'(2, 2)\), \(B'(6, 2)\), dan \(C'(2, 4)\). Jika digambar, desainer akan mendapatkan bentuk \(Γ\) yang simetris.