Materi Ajar: Teorema Pythagoras

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Geometri

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait Teorema Pythagoras dan kebalikannya.

A. Memahami: Konsep Dasar Teorema Pythagoras

Halo, anak-anak! Hari ini kita akan belajar salah satu "jurus" paling ajaib dan paling terkenal dalam matematika. Namanya adalah Teorema Pythagoras. Teorema ini ditemukan oleh seorang filsuf Yunani kuno bernama Pythagoras.

PENTING: Teorema ini HANYA BERLAKU untuk SEGITIGA SIKU-SIKU, yaitu segitiga yang salah satu sudutnya tepat 90°.

Konsep Kunci: Hipotenusa dan Sisi Siku-Siku

Dalam sebuah segitiga siku-siku, kita harus bisa membedakan 3 sisinya:

[Gambar segitiga siku-siku. Sisi tegak dilabeli 'a', sisi alas dilabeli 'b', dan sisi miring (di seberang sudut 90°) dilabeli 'c'.]

Sisi Siku-Siku (a dan b): Ini adalah dua sisi yang "mengapit" atau membentuk sudut siku-siku 90°. (Sisi tegak dan sisi alas).
Hipotenusa (c): Ini adalah sisi terpanjang dalam segitiga siku-siku. Posisinya selalu berada di seberang sudut siku-siku 90°. (Sisi miring).

Bunyi Teorema Pythagoras

Pythagoras menemukan bahwa ada hubungan ajaib antara ketiga sisi tersebut. Teoremanya berbunyi:

"Pada segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi hipotenusa (sisi miring) sama dengan jumlah dari kuadrat sisi-sisi siku-sikunya."

Jika ditulis dalam rumus matematika:

$a² + b² = c²$

B. Mengaplikasikan: Menggunakan Rumus Pythagoras

Rumus dasar $a² + b² = c²$ bisa kita "otak-atik" untuk mencari panjang sisi manapun yang belum diketahui.

1. Mencari Sisi Miring (Hipotenusa / `c`)

Ini adalah rumus dasarnya. Jika a dan b diketahui, c dicari dengan cara dijumlah.

Rumus: $c = \sqrt{a² + b²}$

Contoh: Sisi siku-siku sebuah segitiga adalah 6 cm dan 8 cm. Berapa sisi miringnya?

$a = 6$, $b = 8$
$c = \sqrt{6² + 8²}$
$c = \sqrt{36 + 64}$
$c = \sqrt{100}$
$c = 10$ cm.

2. Mencari Sisi Siku-Siku (`a` atau `b`)

Jika sisi miring (c) dan satu sisi lain (b) diketahui, sisi a dicari dengan cara dikurang.

Rumus: $a = \sqrt{c² - b²}$

Contoh: Sisi miring sebuah segitiga adalah 13 cm dan salah satu sisi siku-sikunya 12 cm. Berapa panjang sisi siku-siku lainnya?

$c = 13$, $b = 12$
$a = \sqrt{13² - 12²}$
$a = \sqrt{169 - 144}$
$a = \sqrt{25}$
$a = 5$ cm.

3. Konsep Kunci: Tripel Pythagoras

Ada beberapa "pasangan" angka bulat istimewa yang selalu pas dengan rumus Pythagoras. Menghafal pasangan ini akan sangat mempercepat perhitungan!

Pasangan Dasar dan Kelipatannya:

3, 4, 5 → (Kelipatannya: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 30, 40, 50; dst.)
5, 12, 13 → (Kelipatannya: 10, 24, 26; dst.)
8, 15, 17
7, 24, 25

Lihat Contoh 1: sisinya 6 dan 8. Oh, ini kelipatan 2 dari (3, 4). Maka sisi miringnya pasti kelipatan 2 dari 5, yaitu 10. (Cepat!)

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus)

Inilah kekuatan sejati Pythagoras: menyelesaikan masalah di dunia nyata yang melibatkan segitiga siku-siku.

Studi Kasus 1: Tangga dan Tembok

Soal: Sebuah tangga sepanjang 5 meter bersandar pada tembok. Jarak ujung bawah tangga ke tembok adalah 3 meter. Berapa tinggi ujung atas tangga dari lantai?

Penalaran (Langkah 1: Visualisasi):

Tangga, tembok, dan lantai membentuk SEGITIGA SIKU-SIKU.

Panjang tangga adalah sisi miring (c = 5 m).
Jarak tangga ke tembok adalah sisi alas (b = 3 m).
Tinggi tembok yang dicapai tangga adalah sisi tegak (a = ?).

Penalaran (Langkah 2: Hitung):

Kita mencari sisi siku-siku (a). (Atau kita ingat Tripel Pythagoras: 3, ?, 5... Pasangannya pasti 4!)

$a = \sqrt{c² - b²}$
$a = \sqrt{5² - 3²}$
$a = \sqrt{25 - 9}$
$a = \sqrt{16} = 4$ m.

Jawaban: Tinggi ujung atas tangga dari lantai adalah 4 meter.

Studi Kasus 2: Jarak Terpendek (HOTS Navigasi)

Soal: Sebuah kapal berlayar 12 km ke arah Timur, kemudian berbelok 9 km ke arah Utara. Berapa jarak terpendek kapal tersebut dari titik awal keberangkatannya?

Penalaran (Langkah 1: Visualisasi):

Perjalanan ke Timur (alas), perjalanan ke Utara (tegak), dan jarak terpendek (sisi miring) membentuk SEGITIGA SIKU-SIKU.

Sisi alas (b) = 12 km.
Sisi tegak (a) = 9 km.
Jarak terpendek (sisi miring / c) = ?.

Penalaran (Langkah 2: Hitung):

Kita mencari sisi miring (c). (Atau kita ingat Tripel Pythagoras: 9, 12, ? ... Ini adalah kelipatan 3 dari 3, 4, ... Maka pasangannya pasti kelipatan 3 dari 5, yaitu 15!)

$c = \sqrt{a² + b²}$
$c = \sqrt{9² + 12²}$
$c = \sqrt{81 + 144}$
$c = \sqrt{225} = 15$ km.

Jawaban: Jarak terpendek kapal dari titik awal adalah 15 km.

Studi Kasus 3: Kebalikan Teorema (HOTS Analisis)

Soal: Seorang tukang bangunan ingin memeriksa apakah pojok ruangan sudah benar-benar siku (90°). Ia mengukur 3 sisi segitiga di lantai: 80 cm, 150 cm, dan 170 cm. Apakah pojok itu sudah siku-siku?

Penalaran (Konsep Kebalikan Teorema):

Jika $a² + b² = c²$ benar, maka segitiga itu PASTI siku-siku.
Jika $a² + b² > c²$, segitiga itu Lancip.
Jika $a² + b² < c²$, segitiga itu Tumpul.
(c harus sisi terpanjang).

Penalaran (Langkah 2: Uji):

$a = 80$, $b = 150$, $c = 170$ (terpanjang).
(Kita bisa pakai Tripel: 8, 15, 17. Ini adalah kelipatan 10. Pasti siku-siku!)
Mari kita buktikan:
$a² + b² = 80² + 150² = 6400 + 22500 = 28900$.
$c² = 170² = 28900$.

Jawaban: Karena $a² + b² = c²$ (28900 = 28900), maka Teorema Pythagoras terbukti. Artinya, pojok ruangan itu sudah benar-benar siku-siku (90°).