Materi Ajar: Kesebangunan dan Kekongruenan

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Geometri

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Kesebangunan atau kekongruenan bangun datar.

A. Memahami: Konsep Dasar Kesebangunan & Kekongruenan

Selamat pagi, anak-anak! Hari ini kita akan mempelajari dua konsep kunci dalam geometri: "Sama Persis" (Kongruen) dan "Serupa" (Sebangun). Memahami ini akan membantu kita mengerti skala, peta, desain, dan banyak lagi.

1. Apa itu Kekongruenan (Kongruen)?

Kekongruenan (Kongruen) berarti dua bangun datar memiliki bentuk dan ukuran yang sama persis. Jika satu bangun digeser, diputar, atau dibalik, ia bisa menutupi bangun kedua dengan sempurna.

Notasi: Menggunakan simbol \(\cong\). (Contoh: \(\triangle ABC \cong \triangle PQR\))
Syarat Utama (Umum):
1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh Nyata: Dua lembar kertas A4, dua ubin keramik 40x40 dari dus yang sama, dua pasang sepatu (kiri dan kanan, jika dicerminkan).

2. Apa itu Kesebangunan (Sebangun)?

Kesebangunan (Sebangun) berarti dua bangun datar memiliki bentuk yang sama, tetapi ukurannya boleh berbeda. Satu bangun adalah versi "perbesaran" (zoom in) atau "perkecilan" (zoom out) dari yang lain.

Notasi: Menggunakan simbol \(\sim\). (Contoh: \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\))
Syarat Utama (Umum):
1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
2. Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan (rasio) yang sama. Rasio ini disebut Faktor Skala (\(k\)).
Contoh Nyata: Pas foto 2x3 dan 4x6, miniatur mobil dengan mobil aslinya, peta sebuah kota dengan kota aslinya.

3. Fokus Khusus: Syarat pada Segitiga

Segitiga adalah bangun yang istimewa. Kita tidak perlu mengecek semua 6 syarat (3 sisi dan 3 sudut). Kita bisa menggunakan "jalan pintas":

Syarat Kekongruenan Segitiga (Pilih salah satu):

Sisi-Sisi-Sisi (SSS): Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang.
Sisi-Sudut-Sisi (SAS): Dua sisi yang bersesuaian sama panjang, dan sudut yang diapitnya sama besar.
Sudut-Sisi-Sudut (ASA): Dua sudut yang bersesuaian sama besar, dan sisi yang menghubungkannya sama panjang.
Sudut-Sudut-Sisi (AAS): Dua sudut yang bersesuaian sama besar, dan satu sisi (yang tidak diapit) sama panjang.

Syarat Kesebangunan Segitiga (Pilih salah satu):

Sudut-Sudut (AA): (Paling sering dipakai!) Jika dua sudut yang bersesuaian sudah sama besar, sudut ketiga pasti sama.
Sisi-Sisi-Sisi (SSS): Perbandingan ketiga sisi yang bersesuaian sama. (Misal: \(\frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} = k\))
Sisi-Sudut-Sisi (SAS): Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sama, dan sudut yang diapitnya sama besar.

B. Mengaplikasikan: Perhitungan Dasar

Contoh 1: Menggunakan Kekongruenan

Soal: Diketahui \(\triangle ABC \cong \triangle PQR\). Jika \(AB = 10\) cm, \(\angle B = 65^\circ\), dan \(\angle C = 35^\circ\). Sisi \(QR = 12\) cm dan \(\angle P = 80^\circ\). Tentukan: \(\angle R\) dan sisi \(AC\).

Penalaran:

Cari dulu semua sudut di \(\triangle ABC\). Jumlah sudut segitiga = \(180^\circ\).
\(\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 65^\circ - 35^\circ = 80^\circ\).
Gunakan sifat kongruen (\(\cong\)). Sudut dan sisi yang bersesuaian sama besar/panjang.
Kita pasangkan:
- \(\angle A = 80^\circ\) ↔ \(\angle P = 80^\circ\)
- \(\angle B = 65^\circ\) ↔ \(\angle Q = 65^\circ\) (belum diketahui, tapi pasti)
- \(\angle C = 35^\circ\) ↔ \(\angle R = 35^\circ\)
Sisi juga harus bersesuaian:
- \(AB\) (di depan \(\angle C\)) ↔ \(PQ\) (di depan \(\angle R\)). Jadi \(PQ = AB = 10\) cm.
- \(BC\) (di depan \(\angle A\)) ↔ \(QR\) (di depan \(\angle P\)). Jadi \(BC = QR = 12\) cm.
- \(AC\) (di depan \(\angle B\)) ↔ \(PR\) (di depan \(\angle Q\)).

Jawaban: \(\angle R = \angle C = 35^\circ\). Sisi \(AC\) bersesuaian dengan \(PR\), tapi panjangnya belum diketahui dari data. (Soal ini menjebak, kita hanya bisa menentukan \(PQ\) dan \(BC\)).

Revisi soal: Jika \(\angle Q = 65^\circ\) dan \(PR = 15\) cm. Tentukan \(\angle A\) dan \(AC\).
Jawaban Revisi: \(\angle A = 180 - 65 - 35 = 80^\circ\). Sisi \(AC\) bersesuaian dengan \(PR\), maka \(AC = PR = 15\) cm.

Contoh 2: Menggunakan Kesebangunan (Rasio)

Soal: Diketahui \(\triangle XYZ \sim \triangle DEF\). Sisi \(XY = 6\) cm, \(YZ = 8\) cm. Sisi \(DE = 9\) cm dan \(DF = 15\) cm. \(DE\) bersesuaian dengan \(XY\). Tentukan panjang \(EF\).

Penalaran:

Tulis pasangan sisi yang bersesuaian:
\(XY\) ↔ \(DE\)
\(YZ\) ↔ \(EF\)
\(XZ\) ↔ \(DF\)
Buat perbandingan rasio (faktor skala):
\[ \frac{XY}{DE} = \frac{YZ}{EF} = \frac{XZ}{DF} \]
Masukkan angka yang diketahui:
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{EF} = \frac{XZ}{15} \]
Ambil bagian yang kita perlukan untuk mencari \(EF\):
\[ \frac{6}{9} = \frac{8}{EF} \]
Sederhanakan: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{EF}\)
Kali silang: \(2 \times EF = 3 \times 8\)
\(2 \times EF = 24\) → \(EF = 12\) cm.

Jawaban: Panjang \(EF\) adalah 12 cm. (Faktor skalanya adalah \(3/2\) atau 1.5).

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah HOTS

Di sinilah kita menggunakan kesebangunan untuk memecahkan masalah di dunia nyata.

Studi Kasus 1: Mengukur Tinggi Pohon/Tiang Bendera

Soal: Budi (tinggi 160 cm atau 1.6 m) berdiri 4 meter dari sebuah tiang bendera. Bayangan Budi yang disebabkan oleh sinar matahari adalah 2 meter. Berapa tinggi tiang bendera jika bayangan tiang dan Budi tumpang tindih?

(Catatan: Soal ini menggunakan dua segitiga sebangun yang saling tumpang tindih)

Penalaran (Model Matematika):

Ada dua segitiga siku-siku sebangun (karena sudut dari matahari sama - Syarat AA).
Segitiga Kecil (Budi): alas = \(2\) m, tinggi = \(1.6\) m.
Segitiga Besar (Tiang): alas = (jarak Budi ke tiang + bayangan Budi) = \(4 + 2 = 6\) m. Tinggi = \(T\) (tinggi tiang).

Aplikasi (Perbandingan):

\[ \frac{\text{Tinggi Budi}}{\text{Alas Budi}} = \frac{\text{Tinggi Tiang}}{\text{Alas Tiang}} \]

\[ \frac{1.6}{2} = \frac{T}{6} \]

\[ 0.8 = \frac{T}{6} \]

\[ T = 0.8 \times 6 = 4.8 \text{ meter} \]

Jawaban: Tinggi tiang bendera adalah 4.8 meter.

Studi Kasus 2: Foto dan Bingkai (Masalah "Border")

Soal: Sebuah foto berukuran 20 cm (lebar) x 30 cm (panjang) diletakkan pada selembar karton. Di sisi kiri, kanan, dan atas foto diberi sisa karton (border) selebar 3 cm. Jika foto dan karton luar sebangun, berapa lebar border di bagian bawah foto?

Penalaran (Model Matematika):

Foto (Bangun Dalam):
\(l_f = 20\) cm, \(p_f = 30\) cm.
Karton (Bangun Luar):
\(l_k = (\text{border kiri}) + (\text{lebar foto}) + (\text{border kanan}) = 3 + 20 + 3 = 26\) cm.
\(p_k = (\text{border atas}) + (\text{panjang foto}) + (\text{border bawah}) = 3 + 30 + x = 33 + x\) cm. (x = border bawah)

Aplikasi (Syarat Kesebangunan - Rasio):

Rasio sisi-sisi bersesuaian harus sama.

\[ \frac{\text{Lebar Foto}}{\text{Lebar Karton}} = \frac{\text{Panjang Foto}}{\text{Panjang Karton}} \]

\[ \frac{20}{26} = \frac{30}{33 + x} \]

Sederhanakan \(\frac{20}{26}\) menjadi \(\frac{10}{13}\):

\[ \frac{10}{13} = \frac{30}{33 + x} \]

Kali silang:

\(10 \times (33 + x) = 30 \times 13\)
\(330 + 10x = 390\)
\(10x = 390 - 330\)
\(10x = 60\) → \(x = 6\) cm.

Jawaban: Lebar border di bagian bawah adalah 6 cm.