Materi Ajar: Barisan dan Deret Geometri

Mata Pelajaran: Matematika

Elemen: Bilangan

Kompetensi: Memahami, mengaplikasikan, dan bernalar yang lebih tinggi untuk menyelesaikan permasalahan terkait cakupan sub-elemen Barisan dan deret geometri.

A. Memahami: Konsep Dasar Barisan Geometri

Halo! Dalam matematika, kita sering bertemu dengan pola bilangan yang teratur. Ada dua jenis pola yang paling terkenal.

Hari ini, fokus kita adalah pada Barisan Geometri, yaitu barisan bilangan di mana perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Konsep Kunci: Suku Pertama (a) dan Rasio (r)

  1. Suku Pertama (a atau U₁): Angka pertama dalam barisan.
  2. Rasio (r): Pengali yang tetap. Rasio dicari dengan membagi satu suku dengan suku sebelumnya.
    r = U₂ / U₁ atau r = U₃ / U₂, dan seterusnya.

Contoh 1: Rasio bilangan bulat (r > 1)
Barisan: 3, 6, 12, 24, ...
Suku Pertama (a) = 3
Rasio (r) = 6 / 3 = 2. (Polanya selalu ×2)

Contoh 2: Rasio pecahan (0 < r < 1)
Barisan: 80, 40, 20, 10, ...
Suku Pertama (a) = 80
Rasio (r) = 40 / 80 = 1/2. (Polanya selalu ×(1/2) or :2)

B. Mengaplikasikan: Rumus Barisan dan Deret Geometri

Kita dapat menggunakan rumus untuk menemukan suku ke-n atau jumlah n suku tanpa harus menghitungnya satu per satu.

1. Rumus Suku ke-n (Uₙ)

Untuk mencari suku ke-n (misal suku ke-10, suku ke-50, dll.) dari barisan geometri, kita gunakan rumus:

Uₙ = a ⋅ rⁿ⁻¹

Dimana:
Uₙ = Suku ke-n yang dicari
a = Suku pertama
r = Rasio
n = Posisi suku yang dicari

Aplikasi Rumus Uₙ:
Carilah suku ke-8 dari barisan 3, 6, 12, 24, ...

2. Rumus Deret Geometri (Sₙ)

Deret adalah jumlah dari suku-suku barisan (misal: 3 + 6 + 12 + 24). Rumus untuk mencari jumlah n suku pertama (Sₙ) ada dua, tergantung rasionya:

Jika Rasio r > 1 (misal r = 2, 3, 5)

Sₙ = a(rⁿ - 1) / (r - 1)

Jika Rasio r < 1 (misal r = 1/2, 1/3)

Sₙ = a(1 - rⁿ) / (1 - r)

Aplikasi Rumus Sₙ:
Hitunglah jumlah 5 suku pertama dari barisan 3, 6, 12, 24, ...

C. Bernalar: Menyelesaikan Masalah (Studi Kasus)

Barisan dan deret geometri sangat berguna untuk memecahkan masalah di dunia nyata yang terkait dengan pertumbuhan atau peluruhan.

Studi Kasus 1: Pertumbuhan Bakteri (Biologi)

Soal: Sebuah sel bakteri membelah diri menjadi 2 setiap 20 menit. Jika pada pukul 08.00 terdapat 5 sel bakteri, berapa jumlah bakteri pada pukul 12.00?

Penalaran (Langkah 1: Identifikasi Model):

Ini adalah masalah barisan geometri, karena polanya dikali 2 (membelah diri).

  • Suku pertama (a): 5 (jumlah awal)
  • Rasio (r): 2 (membelah jadi dua)

Penalaran (Langkah 2: Tentukan n):

  • Waktu total: 08.00 s/d 12.00 = 4 jam.
  • 4 jam = 4 × 60 menit = 240 menit.
  • Membelah setiap 20 menit, jadi terjadi pembelahan sebanyak: 240 / 20 = 12 kali.
  • Pukul 08.00 (awal) adalah U₁ = 5.
  • Setelah 1 kali membelah (20 menit) adalah U₂.
  • Setelah 12 kali membelah (240 menit) adalah U₁₃.
  • Jadi, kita mencari n = 13.

Penalaran (Langkah 3: Hitung Uₙ):

  • U₁₃ = a ⋅ rⁿ⁻¹ = 5 ⋅ (2)¹³⁻¹
  • U₁₃ = 5 ⋅ (2)¹²
  • U₁₃ = 5 ⋅ 4096 = 20.480

Jawaban: Jumlah bakteri pada pukul 12.00 adalah 20.480 sel.

Studi Kasus 2: Bunga Majemuk (Ekonomi)

Soal: Andi menabung uang di bank sebesar Rp 1.000.000 dengan sistem bunga majemuk 10% per tahun. Berapa total uang Andi di akhir tahun ke-3?

Penalaran (Langkah 1: Identifikasi Model):

Bunga majemuk adalah barisan geometri. Uang tahun ini dikalikan dengan (1 + bunga) untuk tahun depan.

  • Modal Awal (M₀): 1.000.000
  • Bunga (i): 10% = 0.1
  • Rasio (r): 1 + i = 1 + 0.1 = 1.1
  • Suku pertama (a) adalah Uang Awal: a = 1.000.000.

Penalaran (Langkah 2: Tentukan Uₙ):

  • U₁ (Awal / Tahun 0) = 1.000.000
  • U₂ (Akhir Tahun 1) = 1.000.000 × (1.1)
  • U₃ (Akhir Tahun 2) = 1.000.000 × (1.1)²
  • U₄ (Akhir Tahun 3) = 1.000.000 × (1.1)³
  • Kita mencari U₄.

Penalaran (Langkah 3: Hitung):

  • U₄ = 1.000.000 ⋅ (1.1)³
  • U₄ = 1.000.000 ⋅ 1.331 = 1.331.000

Jawaban: Total uang Andi di akhir tahun ke-3 adalah Rp 1.331.000.